蒋桂凤

（台州学院 电子与信息工程学院，浙江 临海317000）

0 引言

随着社会的进步和科技的发展，在物理学、神经学、航空学等多种学科领域，非线性偏微分方程的应用越来越广。非线性系统在展现复杂多变的自然现象中比线性方程更加精准，研究也更有价值。为了精确地描述事物的本质特征，研究非线性偏微分方程的精确解的解法也得到了很多的发展，许多非线性方程得到了一些精确解［1-6］。但由于非线性演化方程求解的困难，所以求解非线性方程的精确解还没有系统的方法。

本文利用改进的Kudryashov 方法，选取适当的一阶常微分方程来探求（2+1）维破裂孤子方程及（2+1）维Bogoyavlenskii"s 广义破裂孤子方程的精确解。

1 研究破裂孤子方程的意义与方法

1.1 研究破裂孤子方程的意义

在自然界中存在着大量的折叠现象，流形中的气泡、海浪等都是折叠波，这些现象都可以用破裂孤子方程来描述。近些年，该方程已被应用到许多领域，破裂孤子方程的解的研究也成为了热点。

许多研究者用各种方法研究破裂孤子方程，如傅海明、戴正德应用扩展F 展开法［7］、刘玉堂与刘玉珍利用对称法［8］、张琳琳与刘希强应用李群分析法［9］、张解放、郭冠平用齐次平衡法和推广的hirota 双线性方法［10］、套格图桑与斯仁道尔吉用新辅助法［11］等。通过这些方法，破裂孤子方程的一些精确解被得到。

2012 年，Kudryashov 方法由俄罗斯数学家Nikolay A.Kudryashov 提出，目前该方法已被许多人所应用，得到了一些偏微分方程的解［12-13］。

本文利用改进的Kudryashov 方法，引进简单方程的方法，对研究的破裂孤子方程进行化简，求出一系列的新解，这对于研究折叠波等有重要意义。

1.2 改进的Kudryashov方法——构造一阶常微分方程，求破裂孤子方程的精确解

若一个偏微分方程经过行波变换化为常微分方程

则可以令方程（1）具有如下形式的精确解［14］：

其中H（ξ）满足容易求解的一阶常微分方程——Bermoulli 方程：

这里a，b 是常数。Bermoulli 方程是在化工中的流体输送过程中最基本的方程之一，它是在连续稳定的流体状态下，能揭示流体流动时能量的守恒定律。

为了求得（1）的解，我们把（2）、（3）代入（1）得到以下的方程：

其中S 为整数。

当取方程（4）的系数都为零，即m0= m1= m2= … = mS= 0 时得到一个代数方程组，求解就可以得到相应的方程（1）的解。

为了确保得到的代数方程组中的每一个方程至少有两项，我们对（4）的非线性项产生的最高次数与最高阶导数产生的最高次幂进行平衡，得到等式：

齐次平衡法是求非线性发展方程解的一种有效方法，现在，对于流体、弹性体等变形体的研究，很多都应用了齐次平衡方法［15-16］。

2 两类非线性微分方程的精确解

2.1 （2+1）维破裂孤子方程的精确解

1976 年Calogero 和Degasperis 提出了（2+1）维破裂孤子方程［17］：

它描述了非线性波方程的长波沿x 轴传播，黎曼波沿y 轴传播的相互作用。

我们假设方程（6）的精确解为：

则方程（6）化为

对方程（8）积分，取积分常数为零，得

令u" =φ(ξ)则有

由1.2 内容知，平衡等式（5），得到

所以当取K=2 时，有P=2，因此方程（10）具有如下的解：

其中H(ξ)满足一阶常微分方程

把（11）及（12）代入方程（10），再取H(ξ)i（i=0，1，2，3，4）的系数都为零，得到如下代数方程组：

解方程组（13），得到

所以方程（10）的解为

其中C1为积分常数。

因此（2+1）维破裂孤子方程（6）的解为：

其中ξ = x + αy + βt，C2，C3是积分常数。

2.2 （2+1）维Bogoyavlenskii"s广义破裂孤子方程的精确解

自从O.I.Bogoyavlenskii 提出了（2+1）维破裂孤子方程的相伴AKNS 谱系以来，破裂孤子方程的研究受到了许多的研究者关注。本文研究（2+1）维Bogoyavlenskii"s 广义破裂孤子方程：

与2.1 相同，我们假设方程（18）的解为：

则方程（18）就化为

积分两次，取积分常数为零，得到

令u" = φ(ξ)则有

同样由平衡等式（5）可知，当取K=2 时，有P=2，因此方程（20）具有如下的解：

其中H(ξ)满足方程

与2.1 方法类似，把（21）及（22）代入方程（20），再取H(ξ)i（i=0，1，2，3，4）的系数都为零，可求得

所以方程（20）的解为

即

其中C4为积分常数。

因此（2+1）维Bogoyavlenskii"s 广义破裂孤子方程的解为：

（1）当k1= h ＞0 时，

（2）当k1= -h ＜0 时，

其中ξ = x + αy + βt，C5，C6是积分常数。

3 结语

总之，非线性偏微分方程是描述客观事物非线性演化过程的数学物理方程，几乎不存在通用的方法研究方程的解。本文借助已知能求解的常微分方程，利用改进的Kudryashov 方法，得到了（2+1）维破裂孤子方程和（2+1）维Bogoyavlenskii"s 广义破裂孤子方程的许多精确解。这种方法可以用来研究更多的非线性偏微分方程问题，得到它们的解。