广东省博罗县龙溪中学 蒋 贤

在数学教学中，只有有效地引导学生挖掘题目本身蕴含的数学思想方法，发现解题过程中的数学思想，并且有效地加以归纳和总结，灵活运用，才能使学生真正体会数学的奥妙，领会数学的真谛，抓住问题的本质，提高解题能力，从而有效提升学生的数学素养。

一、渗透转化思想

转化思想就是将不熟悉的数学问题转化为熟悉的数学问题来解决的一种思想方法。在学习过程中，将未知的问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题，可以说在解决数学问题时转化思想几乎是无处不在的。

案例1 如图所示，两个村子A、B在一条河CD的同侧，A、B两村到河边的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，CD=3千米.现要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送水，铺设水管的工程费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置，使铺设水管的费用最省，并求出最省的铺设水管的费用.

分析：要使铺设管道的费用最省，由于铺设管道每千米的费用一定，为2000元，即转化为求铺设管道的长度最短的值.运用轴对称的性质，将点A转化到点M，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边.

解：作点A关于河CD的对称点M，连接MB，交CD与点P，则点P即为水厂位置，此时铺设的管道长度为PA+PB.

∵点A与点AM关于CD对称，

∴PM=PA，MC=AC=1，

∴PA+PB=PM+PB=MB.

过点M作MN⊥BN于N，则∠MNB=90°，MN=CD=3，BN=BD+DN=3+1=4，

∴在Rt△MNB中，根据勾股定理可得MB=5（千米），

∴2000×5=10000（元）.

答：铺设管道的最省费用为10000元.

教学启示：在勾股定理的运用中，直角三角形为前提条件，在求三角形的边或角时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决。可以转化为用勾股定理解决实际问题的常见类型，包括：航海问题、折叠问题、梯子问题、最短路径问题等等。

二、渗透方程思想

方程思想就是在求解数学问题时，从题中的已知量和未知量之间的关系入手，找出相等关系，运用数学语言将相等关系转化为方程（组），再通过解方程（组），使问题获得解决，方程思想是中学数学中非常重要的思想方法之一。

三、渗透函数思想

利用函数解决问题是用运动、变化、发展的观点了分析问题中的数量关系，抽象出函数模型，进而解决有关问题.函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数思想可以解决许多数学问题，尤其是实际问题。

四、渗透分类思想

分类讨论思想就是按照一定的标准，把研究对象分成为数不多的几个部分或几种情况，然后逐个加以解决，最后予以总结得出结论的思想方法。其实质是化整为零，各个击破的转化策略.运用分类思想解决问题时，要做到“确定对象的全体，明确分类的标准，不重复、不遗漏”。

案例2 矩形一个内角的角平分线将它的一边分成4cm和2cm的两部分，则该矩形的周长是多少？

分析 此类题可分为两种情况解答.一个角的平分线可以把边分为4cm和2cm，也可把边分为2cm以及4cm.进而得到矩形另一边长为4cm或2cm.进而求得矩形周长即可.

解答 解：∵AE=4cm，DE=2cm.

∴AD=BC=6cm.

利用角平分线得到∠ABE=∠CBE，矩形对边平行得到∠AEB=∠CBE.

∴∠ABE=∠AEB.

∴AB=AE=4cm.

∴矩形的周长为4+4+6+6=20cm；

第二种情况：AE=2cm，DE=4cm.

同理可得AB=AE=2cm.

所以矩形的周长为2+2+6+6=16cm.

故答案为：20cm或16cm.

教学启示 在解决某些问题时，如果这些问题存在各种不同的情况，那么就要对这些问题进行分类讨论。本题主要考查矩形的性质，出现角平分线，出现平行线时，一般出现等腰三角形，需注意等腰三角形相等边的不同。

五、渗透数形结合思想

数学是研究数量关系与空间形式的学科，“数”与“形”以及它们的联系与转化，是数学的永恒主题。每个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系常常又可以通过图形的直观性作出形象的描述。数形结合思想即是把代数、几何知识相互转化、相互利用的一种解题思想。

总之，数学思想是数学的核心。 因此，在中考复习教学中，教师要加强对数学思想方法的渗透，提高学生灵活应用数学的能力，进而有效提升学生的数学素