何 华, 姜 静

(西安邮电大学 通信与信息工程学院， 陕西 西安 710121)

在大规模多输入多输出(multiple-input multiple-output, MIMO)多用户通信系统中，波束形成是提高能效的重要方法[1]，在多用户下行波束形成中常常需要满足一定阈值下的信干噪比、信漏噪比等系统性能指标，并且在满足这些性能指标时需保证发射功率最小[2]。因此，大规模MIMO下行多用户的波束形成问题可表述为一般优化问题[3-4]，若能将该波束形成优化问题转化为凸优化问题，就能够方便问题分析，使之得到快速解决[5]。

凸优化问题是优化问题中最大的子类，具备有效的解决方案[6]，因此，凸优化方法已经广泛地应用在许多工程优化问题中。文献[7]将凸优化应用在MIMO雷达滤波器组的设计。文献[8]将凸优化应用在分集稀疏信号的重建。文献[9]将凸优化应用在无线传感器网络中的节点定位中。近年来，凸优化问题相关的理论、算法和软件工具发展迅速，已成为较成熟的处理工程应用问题的重要方法[10]。一旦实际问题被表述为凸优化问题，可认为该问题已经被解决[11]，就只是一项计算技术了[12]。

本文将凸优化应用到处理大规模天线系统的问题中，首先介绍了一种拉格朗日对偶理论和方法，该方法为非凸问题向凸问题的转化提供了途径，其次利用拉格朗日对偶方法详细分析了将大规模MIMO波束形成优化问题转化为凸优化问题的过程，使得大规模MIMO下行多用户波束形成优化问题得以解决。

1 拉格朗日对偶

常见的优化问题可表述为