殷 烁，于梅菊，丛玉华，陈衍峰，许 晶，张洪为，葛金辉

概率论与数理统计课程是高校数学与应用数学专业、统计学专业的基础必修课程，也是其他理工科专业学生的必修课程，对学生的后续学习十分重要.但是概率论与数理统计课程理论知识难度较大，学生学习吃力，学习兴趣不高，如何在这种情况下提高学生学习的兴趣尤为重要，翻转课堂的引入是解决这一问题的“密钥”.

1 运用翻转课堂教学的可行性分析

目前各高校配有专业的计算机机房，各二级学院也拥有自己的实训室等场所.移动、联通光纤网在校园内全面覆盖，为学生顺利进行翻转课堂学习提供了硬件设备保障，学生在教室和宿舍都能够使用电脑、手机随时上网学习.

概率论与数理统计课程多在大学二年级开设，这一阶段的学生已经适应了大学的学习生活，自主学习能力在不断地提升中，已经能够接受在概率论与数理统计课程教学中应用翻转课堂教学方式［1］.实用性和应用性强是概率论与数理统计课程的突出特点.通过学习，让学生掌握概率、统计的基础知识，训练学生的概率论与数理统计思维，提升学生解决问题的能力，培养学生的综合素质，一直是概率论与数理统计课程的目标.笔者结合现代教育理论和相关学习理论，发现对于像概率论与数理统计这种实践应用性很强的课程，将理论与实践结合的“学做结合”是非常理想的学习方式.在该课程中实施翻转课堂教学，可以结合讨论式教学、问题式教学，在制作教学视频时，做好相关设计，让学生在学中做，在做中学，通过视频制作增强学生的学习兴趣.

综上，高校概率论与数理统计课程实施翻转课堂教学主客观条件兼备，同时，概率论与数理统计课程的实用性和应用性强的特点也决定了在该课程教学中实施翻转课堂是切实可行的.

2 翻转课堂在概率论与数理统计课程教学设计中的应用

概率论与数理统计的重要研究课题之一，是从已知的简单事件的概率来推算未知的复杂事件的概率.对于一个复杂事件，有时不能直接求出它的概率，这就需要将其转化为若干个易于计算的简单事件，由加法和乘法公式得到复杂事件的概率，全概率公式正好起到这个作用.全概率公式是概率论与数理统计的一个重要公式，是概率论与数理统计教学中的一个重点，也是一个难点.如果在教学过程中直接给出全概率公式，学生往往无法接受，更不会分析求解.要使学生深刻理解全概率公式，教师就要下功夫讲明白公式的来龙去脉，适当展开［2］.文章以人民大学出版社2016年出版的《概率论与数理统计》（第二版）［3］一书中的“全概率公式”为例，就如何运用翻转课堂进行全概率公式教学设计展开探索.

2.1 课前预习阶段

（1）教学视频的制作.先将要在课堂上讲授的内容进行结构化处理，分解出本节课要讲授哪些内容.全概率公式教学中需要选取恰当的例子，从实例分析中掌握全概率公式，在视频设计时要注意引入实例的逻辑顺序［4-5］.任何一门学科或新知识的教学，引入都是非常重要的.在全概率公式教学中，如果直接介绍样本空间的划分及全概率公式，学生不能理解公式的本质内涵，所以要用生活中浅显易懂的取球和掷骰子实例引出样本空间的构成及划分，将其制成教学视频，供学生课前预习使用.选取案例见例1、例2.

例1一袋中有10个球，其中3个黑球，7个白球，从中先后随意各取一球（取后不放回），求第二次取到黑球的概率.

分析：不放回的取两次，求第二次必须取到黑球的概率，而第一次可能取到黑球，也可能取到白球，是两个互不相容的事件.若设B表示“第二次取到的是黑球”，A表示“第一次取到的是黑球”，则表示“第一次取到的是白球”，要求P(B)，由题意知上例中事件B的发生受到第一次实验结果（两个）的影响，也即是第一次实验的两个结果构成了整个样本空间.

由此引出样本空间的划分（或完备事件组），即任一样本空间Ω总能被一事件组A1,A2,…,An所划分，且这个事件组恰为一完备事件组，即，且AiAj=ϕ(i≠j,i,j=1,2,…,n).需要强调样本空间的划分并不是唯一的.

例2抛掷一枚骰子，观察其朝上的点数，则样本空间Ω={1，3，4，5，6}.对于样本空间的划分可以取A1={1点朝上}={1}，A2={大于等于2且小于等于3的点数朝上}={2，3}，A3={大于等于4的点数朝上}={4，5，6}，从而A1,A2,A3构成一个完备事件组.同样也可以选取A1={奇数点朝上}={1，3，5}，A2={偶数点朝上}={2，4，6}，则A1,A2构成一个完备事件组.每一组事件都是互不相容且其和构成整个样本空间.

本视频制作可以在网上下载视频进行后期加工，也可以利用录屏软件+PPT制作，还可以用摄像机和手机录制.学生通过视频学习，很容易理解样本空间的构成及划分，并加深对全概率公式的理解.

（2）学习卡的编制.学生的学习卡是与教学视频配套使用的，应包含学习指南、“我的问题”、预习检测三个组成部分.学习指南的作用是帮助学生对相关内容进行有针对性的自主学习.全概率公式学习卡的编制，要体现公式的引入及分析过程，应能够对学生分析、综合、判断、推理思维活动过程进行引导和记录，对其中涉及的结论性问题进行归纳和总结.“我的问题”是引发学生对视频中相关问题进行思考并大胆质疑.编制学习卡时，要预留空白处供学生提出质疑问题或其他相关问题.预习检测的作用是确定学生的原有基础，检测学生对视频内容的学习情况.教师在设定检测题时要围绕教学重点和教学难点进行，控制好试题的难度和数量，减轻学生的学习负担.

（3）课前学习.教师在进行新课教学的前几天上传教学视频，发放学习卡，并对课前预习提出要求.学生课前预习的总体情况记入平时成绩.学生利用课余时间观看教学视频，完成学习卡.遇到弄不清楚的问题，要填写在学习卡的空白处，上课时由老师和同学共同讨论，共同学习.最后，完成学习卡上“预习检测”部分的题目.

2.2 课堂学习阶段

（1）课堂教学的设计.处理各类问题.学习卡纳入学生考核评价中，既可以激励学生课前预习，又可以让教师掌握学生的学习情况.教师需要检查、批改学生的学习卡，发现学生在学习过程中存在的问题，并对收集到的问题进行分类处理，归纳提炼出课堂教学时要解决的问题.对学生在学习卡中提出的与本节课关系不大的问题或现阶段暂不需要解决的问题，留待以后解决.而与课堂教学内容紧密相关的，如“第一次取球的结果是否是第二次取球发生的全部原因”这一问题，则是课堂教学中真正需要解决的问题.对于个别学生提出的很简单的问题，在学习卡上给予答复即可.而大多数学生关注的问题则需要在课堂教学中解决.

（2）课堂教学活动.教师在进行课堂教学设计时，可以将课前预习中提炼出来的问题纳入巩固深化教学内容，重新整合，整体规划教学活动安排.教师要根据教学内容和学生的学习情况，确定一两个重点.课堂教学基本按照情景导入、独立思考、协作探索等环节进行，即根据学生的学习需要安排相适应的教学组织方式.学生在课堂学习中要进行课堂合作学习，以最大限度地发挥学生的主动性和学生潜能.但在学生进行合作学习时，切记在提出问题后，让学生独立思考，给学生预留思考时间.

①情境导入.教师创设具体的学习环境，生成一系列任务.学生通过完成这些任务，解决课前预习中存在的问题.比如前面提到的样本空间的划分标准，可以让学生理清任一事件B与完备事件组A1,A2,…,An的关系.

任一事件总是由样本空间Ω中若干个基本事件构成，而当Ω被A1,A2,…,An划分时，所有的基本事件无一例外地被归类于A1,A2,…,An中，所以B中的基本事件也必然属于完备事件组A1,A2,…,An，这样A1,A2,…,An划分样本空间时也划分了事件B.如上所述抛掷一枚骰子，取事件B={2，4，5}，则事件B被第一组中的A2,A3划分了，被第二组中的A1,A2划分了，从中我们也发现，B中的元素不一定是划分者的全部元素，所以B不能用它们的和表示，只能用积表示.比如，被第一组划分的情况下B=BA1⋃BA2⋃BA3，这里BA1=ϕ.被第二组划分的情况下B=BA1⋃BA2.

课本上都有关于样本空间的划分的图形，复杂事件B的发生与一系列互不相容的事件有关，需要说明的是，互不相容事件本身并不一定完全构成样本空间Ω，往往需要添加某些事件后才能构成样本空间Ω，而添加的这些事件对复杂事件B被完备事件组中的部分事件划分了，可以广义地认为是被全部事件划分了，只是没参与划分的事件没分着B的任何元素，与B的积为不可能事件.

②独立思考.独立思考是合作学习的前提，只有大家集思广益，积极努力，才能在互助学习中获得最大的收获.能力强的同学针对课前的视频学习，情境导入的问题分析，可以总结出一些规律性的结论.能力差的同学很难从总体上把握所要学习的内容，只可能有一个大致的思路，但是具体问题不知道如何解决，合作学习可以使他们在同学那里得到启发，学会解决问题的方法.

③协作探索.首先，学生们经过思考之后，小组讨论，分工合作，共同完成教师布置的任务.然后，教师抛出学生们在课前预习时错误率较高的题目，请学生再次尝试解决.最后，教师拓展这部分内容，提出更高要求的任务，即引出全概率公式，强化应用.

理清事件B与完备事件组A1,A2,…,An的关系后，可由加法和乘法公式引出全概率公式P(B)=P(BA1)+P(BA2)+…+P(BAn)，P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai)，从而得经过理论分析之后，学生对公式有了初步的认识，要熟练应用公式，还需要加大练习，教师在举例时要注意由易到难，选取例题的难易度要适当拉开，考虑到授课对象的基础，在课堂上选讲的题型都是较容易的，要求的事件与已知事件之间的关系也是明了的，对于稍微复杂的题型，选作练习题，让学生自己动手解决，基础好的学生很快解决，基础不好的学生可能解答不出来，可以和老师、学生互相讨论，经过提示，大多数学生还是迎刃而解的.少部分基础太差的，对其要进行个别辅导，这样可以保证每位学生都有所学.这部分内容要求对问题进行求解并推广到一般情形，强调化整为零、化繁为简的思想.学生通过学习，强化了对全概率公式的理解，完备事件组A1,A2,…,An中的任一原因都有可能导致事件B的发生，事件B发生的概率是完备事件组A1,A2,…,An中各原因引起事件B发生概率的总和，实质上是加法公式和乘法公式的综合运用.

2.3 课后学习阶段

课后学习阶段主要包括自主作业、交流讨论、反馈评价三个环节.

（1）自主作业和交流讨论.当解决完课前预习、课堂教学中的所有问题后，教师要精心编制课堂作业——注意事件描述的准确性（见例3），让学生完成，巩固全概率公式的全部内容.

教学中发现有的学生使用全概率公式时，对于事件的表示描述不确切，思路混乱，只会将数据代入公式，没有真正理清事件间的关系，遇到稍微复杂的问题无从下手.

例3已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者，今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性概率.有的学生设B1={男性色盲}，B2={女性色盲}，A={此人是色盲}，这样的话，代入公式后解释不清，说明没有领会如何选取完备事件组.为解决这个问题，在教学中要强调事件描述的准确性.我们可以选取B1={男性}，B2={女性}，这样B1，B2构成一个完备事件组，问题迎刃而解.学生在完成这个作业时遇到困惑，可以和小组内的同学商量，也可以和老师讨论.并针对此类题型进行专门的练习，重点练习用字母表示各事件的描述方法.

交流讨论的主题还可以是：全概率公式在军事方面的应用，全概率公式在经济管理方面的应用等.

（2）反馈评价.教师对学生在课堂活动中的表现进行归纳和总结，结合课前预习中存在的问题，肯定学生的进步.翻转课堂中的评价方式是多维的，评价内容包括：针对性练习的成绩，提出问题的情况，课堂独立解决问题的表现，在小组协作中的表现等多方面，教师要及时给予评价.

3 结论

翻转课堂是一种新型的教学方式，在概率论与数理统计课程教学中采用翻转课堂教学方式，学生在课堂上，目的明确，思路清晰，对前面的理论内容有了更加深刻的理解和体会，真正成为学习的主人，学习兴趣明显增强.翻转课堂拉长了课程学习的时间跨度，学生在参与课堂活动时有比较充分的准备，教师在教学视频中有充分的时间使学生理解所要学习的主要内容，学生在课堂学习中参与度加深，有较多的时间进行师生、生生之间的交流，针对难度较大的知识模块，学生都能很快完成，讨论热烈，能够开展高阶思维的交流，学习氛围浓厚，课堂学习效率明显提高.