李凡，熊家军

1. 空军预警学院 研究生大队，武汉 430019 2. 空军预警学院 预警情报系，武汉 430019

临近空间高超声速飞行器(Near Space Hypersonic Vehicles, NSHV)是指飞行于20～100 km 高度空域，飞行马赫数大于5，具有执行快速打击任务能力的飞行器。相对常规飞机目标而言，NSHV速度快、飞行高度高；相对弹道导弹目标NSHV机动能力强、飞行轨迹灵活、突防能力强[1-2]。当前，无论是作为进攻或防御方对于NSHV的研究都如火如荼地展开，其中，临近空间高超声速跳跃滑翔式目标飞行轨迹更加复杂多变，机动突防能力强，对此类目标的高精度跟踪是实现高精度预警拦截的关键技术之一[3-4]。

众所周知，机动目标跟踪模型分为运动学与动力学模型两大类[5-7]，而临近空间高超声速跳跃滑翔式目标跟踪也属于机动目标跟踪范畴，对这类目标的跟踪模型同样可以以此进行区分。动力学模型以目标受力为起点，包括重力、空气动力、阻力及推力，分析不同类型的力产生加速度，以实现对目标真实运动的描述[8-10]。动力学模型适用于受力相对简单的目标跟踪，其最早应用于弹道目标的跟踪及落点预报，临近空间高超声速跳跃滑翔式目标速度较快无法实现瞬态的强机动。同时，在实际的制导与控制设计中，控制量相对较为简单，迎角与倾侧角模型通常采用简单函数描述。此外，临近空间高超声速跳跃滑翔式目标可以在临近空间中长时间滑翔飞行，受力影响较少且较为稳定(相对飞机等在线控制目标)，因此动力学模型也可适用于这类目标跟踪[11]。动力学模型优点在于模型包含的信息量较大，能得到多种气动及运动参量等，对目标运动描述的精度较高，但需要的先验信息较多，当先验假设与实际不匹配时，模型退化严重误差较大。当前对于临近空间高超声速跳跃滑翔式目标跟踪动力学模型研究聚焦于加速度表达、制导及控制参数的辨识及引入[12]。

运动学模型直接以加速度为起点，通过经典运动模型得到目标的状态估计[13-14]。运动学模型是最为传统的跟踪模型，基本可以运用于所有机动目标的跟踪(包括弹道目标、飞机等在线控制目标)，其优点在于适应性较好，模型结构较为简单，先验信息需求少，但其性能依赖于对加速度的机动统计建模，当前已有的白噪声匀速(Constant Velocity, CV)/匀加速(Constant Acceleration, CA)模型、一阶指数相关Singer模型、Jerk模型、非零均值一阶指数相关“当前”统计(Current Statistical, CS)模型等，对临近空间高超声速跳跃滑翔式目标跟踪效果并不十分理想[15-16]。在此基础上，文献[17]首先提出了具有周期特性的二阶正弦波(Sine Wave, SW)相关模型，SW模型认为这类目标加速度相关性服从正/余弦的周期性质，周期性引入能更加准确地描述跳跃式轨迹的运动特性，这一模型对临近空间高超声速跳跃滑翔式目标跟踪运动学建模影响较大。

文献[18]指出自适应非零均值模型性能一般情况下略优于零均值模型，且适应性较强，当前对于一阶指数相关Singer模型，其自适应非零均值形式CS模型研究较为成熟，而SW的非零均值形式还未出现公开资料，本文在SW基础上提出了自适应非零均值SW(Adaptive Non-zero Mean Sine Wave, ANM-SW)模型。首先从非零均值机理出发构建了ANM-SW模型，推导了模型状态方程，在此基础上阐述了自适应非零均值模型的物理含义；此后结合卡尔曼滤波(Kalman Filter, KF)从系统动态误差稳态分析了ANM-SW及SW模型的性能差异；最后进行了一系列的仿真验证。

1 自适应非零均值模型

非零均值模型实质是通过引入加速度均值，使得加速度分布随均值移动，鉴于非零均值时间相关模型优越性能，本文在此直接讨论非零均值模型的情况，并构建ANM-SW模型。假定目标加速度为加速度均值与相关扰动组合而成[18],即

(1)

1.1 ANM-SW连续时间模型

王国宏等[17]针对跳跃滑翔式轨迹纵向近似正/余弦函数的特点(由于正弦、余弦周期性推导的结果相同，本文统称为SW)，认为其加速度等表现出类似的周期性质，根据这一特性，SW模型假设加速度自相关函数为

(2)

(3)

式中：ω(t)为白噪声输入，且存在

(4)

在SW模型的微分方程基础上引入加速度非零均值，结合式(1)和式(3)可得ANM-SW模型的微分方程为

(5)

式(5)构造了完整的ANM-SW二阶Markov时间相关模型，因此ANM-SW模型连续时间状态方程为

(6)

式(6)为ANM-SW加速度均值补偿的微分方程，可简化为

(7)

式中：X(t)为状态向量；AANM-SW为连续时间状态转移矩阵；U1、U2和U3为控制矩阵；B=[0,0,0,1]T为噪声向量。

1.2 均值补偿

根据式(7)可得状态转移矩阵F(T,β)为

F(T,β)=eAANM-SWT=

(8)

式中：T为跟踪采样时间间隔。

(9)

(10)

(11)

(12)

式中:Ⅰ部分

令x=(k+1)T-ξ⟹

(13)

Ⅲ部分

令x=(k+1)t-ξ⟹

(14)

则ANM-SW模型离散状态方程为

X(k+1)=F(β,T)X(k)+

(15)

式中：X(k+1)为离散时间状态向量；W(k)为过程噪声。根据式(15)可知ANM-SW模型状态的预测为

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

将式(17)和式(20)合成，则均值补偿后的ANM-SW模型状态预测表达式为

(21)

式中：Φ(T)为状态转移矩阵，式(2)体现了自适应非零均值加速度引入的物理本质，ANM-SW模型的状态预测变为了基本的匀加加速度模型，类比于CA模型，在此将匀加加速度模型简称为CJ(Constant Jerk)模型。

如前所述，ANM-SW模型经过均值补偿后与CJ模型的运动方程一致，即状态转移矩阵仅与时间间隔T相关，与其他参数无关。无论是一阶还是二阶的Markov时间相关模型，加速度相关假设条件下的状态转移矩阵，不再符合对经典力学领域中物体运动形式的认知，即位移为速度、加速度等状态量的时间积分之和。而自适应非零均值Markov模型弥补了这一缺陷，其物理实质在时域方面体现为通过加速度/加加速度均值补偿，使得状态转移矩阵依旧服从对运动的认知，即状态转移矩阵Φ(T)仅受采样间隔T影响；在频域方面表现为矩阵A中先验假设参量β的对消，使其呈现为标准的0-1矩阵(参见2.3节)，保证频域上的滤波器呈线性系统，增强了模型对不同机动样式的适应性。

1.3 过程噪声协方差自适应

(22)

2 ANM-SW模型的KF性能分析

机动目标跟踪算法包括机动模型和滤波算法2个方面，整体性能同时依赖模型和滤波算法的相互作用，为进一步分析ANM-SW模型性能改善，首先基于KF推导了跟踪算法状态更新的系统动态误差[18]，并设定了3种典型的运动形式，然后分别结合SW、ANM-SW模型对比分析了其动态误差稳态值，说明了ANM-SW模型较SW模型的优势。

2.1 KF状态更新动态误差分析

状态更新主要受模型状态方程及滤波增益影响，设系统连续时间量测方程为[19]

Z(t)=H(t)X(t)+V(t)

(23)

式中：Z(t)和H(t)分别为量测向量和量测矩阵；V(t)为量测噪声，E(V(t)VT(t))=R(t)。根据卡尔曼滤波理论，连续时间状态估计为

(24)

式中：K(t)为增益矩阵，当滤波达到相对稳态时，增益能较为准确地描述量测噪声的分布特性，此时增益趋于常值，本文在此仅考虑一维的情况，即H(t)=H=[1,0,0,0]T，则式(24)的拉普拉斯变换为(假设初始条件为零)

(25)

(26)

若目标的机动表现为加速度的单位脉冲函数、单位阶跃函数、单位斜坡函数3种不同情况时，可得到SW、ANM-SW模型状态更新中动态误差的稳态值。

2.2 SW模型动态误差稳态

(27)

式中:

则SW模型动态误差稳态为

(28)

对于SW模型，当目标机动形式为Case 1时，SW模型动态误差稳态为零。当为Case 2、Case 3时，SW模型难以保证状态更新的误差稳态趋近于0，表明当出现Case 2、Case 3时使用SW模型，状态估计的收敛性存在一定风险。针对这一问题，一方面，可以通过合理的参数取值限制模型动态误差稳态的大小；另一方面，使用采用自适应非零均值模型强制模型收敛。

2.3 ANM-SW模型动态误差稳态

ANM-SW模型状态转移矩阵都满足匀加加速度形式，则ANM-SW模型等价的连续时间状态微分方程为

(29)

(30)

当加速度输入为Case 1、Case 2、Case 3时，ANM-SW模型状态更新的动态误差稳态恒为0，自适应非零均值模型通过均值补偿实现了对模型参数的简化，消去了先验相关性假设参数，进而重新形成匀加加速度的形式，在状态更新的动态误差稳态上体现为分子上的零点数量增加，保证了对3种不同加速度输入条件下系统动态误差稳态的收敛性能[19-20]。

3 仿真分析

本文设置2个不同的仿真场景，其中场景Ⅰ用于验证ANM-SW模型用于跟踪临近空间高超声速跳跃滑翔式目标轨迹的跟踪精度优越性。仿真场景Ⅱ用于分析ANM-SW模型对典型运动适应性。

3.1 场景Ⅰ

图1 周期轨迹Fig.1 Periodic trajectory

图2 周期轨迹滤波仿真结果Fig.2 Simulation results of periodic trajectory filtering

文献[15, 17]中已经验证，具有类周期特性的SW模型能更加准确描述跳跃滑翔式目标运动特性，相对常规的Singer、CS等模型跟踪精度较高。在位置误差方面，如图2(a)所示，2种模型位置误差呈缓慢上升趋势，总体水平较为稳定。其中SW模型误差较高，且波动幅度略大，在100 s和200 s附近由于强机动有明显的误差上升。ANM-SW模型整体误差水平平稳，100 s和200 s时刻误差没有出现突变，在强机动位置时能较好地压制误差上升，其跟踪精度略优于SW模型。

在速度误差方面，如图2(b)所示，SW模型误差较高，在强机动时速度误差迅速上升，在一段时间内保持较高误差水平状态，难以快速收敛至较低水平。ANM-SW模型误差整体水平较低，自适应非零均值模型能快速描述目标的速度变化，特别是在强机动时，能有效压制误差升高，收敛速度较快。为更好比较各模型的跟踪性能，计算所有模型的位置及速度误差统计平均如表1所示(本文约定从误差收敛时开始统计平均)。

表1 位置与速度误差统计平均Table 1 Statistical average of position and velocity errors

3.2 场景Ⅱ

3.2.1 自适应非零均值模型适应性

此前从时域的状态方程、频域的系统动态误差稳态分析了ANM-SW模型的物理本质，证明了自适应非零均值模型对机动的适应性更好。因此，分别设定匀加速、脉冲加速、正弦加速3种运动(一维轨迹)，讨论了模型对不同运动的跟踪效果，并分析了目标状态估计的一致性。其中3种运动的加速度如图3所示。

跟踪CA运动效果如图4所示，SW模型假定目标加速度相关完全服从周期性，导致滤波误差较大，位置、速度及加速度误差均高于ANM-SW模型。此外，由于目标做匀加速运动，跟踪误差经过最初阶段调整后整体较为稳定。ANM-SW模型通过均值补偿，使得状态方程呈现匀加加速度形式，对CA运动滤波精度远高于SW模型。

设置脉冲加速运动主要为了检验模型对加速度突变的适应能力，如图5所示，SW模型在40 s及60 s加速度突变时表现欠佳。其中SW模型位置误差在40 s时急剧升高，且在40 s～70 s内的误差维持较高水平，难以恢复至40 s前误差水平，此外，SW模型对速度、加速度误差有一定的抑制能力，其误差曲线突变后有一定回落，但其适应能力有限，速度及加速度整体误差依然较高。ANM-SW模型能快速描述目标机动变化，在40 s及60 s时刻位置误差没有出现大幅度突变，仅有小范围的误差升高，40～60 s内目标做匀加速运动，由于ANM-SW模型状态方程呈现CJ形式，能较好适应这一时段内的运动模式，其位置误差可类比CA运动的跟踪滤波，速度及加速度误差方面，如图5(b)和图5(c)所示，在40 s和60 s机动突变时，其速度及加速度误差急剧上升后迅速收敛至较低水平，与CA运动的滤波误差相近。

图3 3种运动的加速度曲线Fig.3 Curves of three motions of acceleration

图4 匀加速运动跟踪结果比较Fig.4 Comparison of tracking results of constant acceleration motion

图5 脉冲加速运动跟踪结果比较Fig.5 Comparison of tracking results of pulse acceleration motion

正弦加速运动跟踪结果如图6所示，由于目标加速度呈周期性变化，导致SW及ANM-SW模型的位置、速度、加速度误差呈周期性波动，SW模型误差波动幅度较大。由于SW模型加速度自相关完全服从周期性的假设，对正弦加速运动具有较高的跟踪精度，其误差均值略小于ANM-SW模型，但其缺点在于对目标机动难以快速反应，如图6(c)中SW模型加速度误差与加速度大小存在一定的时延。而ANM-SW模型通过均值补偿能快速适应目标机动变化，其误差相对波动较小，但均值补偿使得ANM-SW模型中周期性被削弱，其误差整体水平略高于SW模型。总体而言，跟踪正弦运动时SW模型效果略优于ANM-SW模型。此外，SW误差谷值点远小于ANM-SW模型的，但其峰值点与SW模型相当甚至略高，因此跟踪正弦加速运动目标时，ANM-SW模型稳定性较好，不失为一种较为稳妥的方案，而SW模型滤波误差谷值点具有更高的精度潜力，可用于交互多模型(Interacting Multiplc Model, IMM)构建新的多模型结构跟踪这一运动形式目标，以追求更准确的状态估计。为更直观比较模型性能，场景Ⅱ中滤波误差统计平均如表2所示。

3.2.2 状态误差一致性

对于随机参数而言，其估计均方收敛的条件为

(31)

(32)

若状态估计无偏，且式(32)成立，则认为该滤波器的状态估计是一致的(其本质为有限样本一致性)。令归一化状态估计误差平方为

图6 正弦加速运动跟踪结果比较Fig.6 Comparison of tracking results of acceleration motion

表2 跟踪不同运动时位置、速度及加速度误差统计平均Table 2 Statistical average of position, velocity and acceleration errors in tracking different movements

ModelConstant acceleration motionPulse acceleration motionSinusoidal acceleration motionPosition error/mVelocity error/(m·s-1)Acceleration error/(m·s-2)Position error/mVelocity error/(m·s-1)Acceleration error/(m·s-2)Position error/mVelocity error/(m·s-1)Acceleration error/(m·s-2)SW1931244219289261188225ANM-SW113541613361161298825

(33)

(34)

图7 状态估计一致性比较Fig.7 Comparison of state estimation consistency

式时，SW及ANM-SW模型都不具备状态误差与滤波计算协方差一致性，跟踪匀加速运动及脉冲加速运动时，ANM-SW模型状态误差一致性较为稳定，且略好于SW模型。跟踪正弦加速运动时，SW模型状态误差一致性波动较大，其波谷与置信区间接近，但波峰较高，偏离置信区间大，ANM-SW模型状态误差一致性起伏相对较小，其均值与SW模型相近。结合表2中数值统计结果可知，跟踪匀加速及脉冲加速运动时，本文模型跟踪性能明显占优。跟踪正弦加速运动时，SW模型略优于本文模型，两种模型滤波性能差距较小。因此，就总体的模型适应性而言，本文模型是较为安全稳妥的选择。

4 结 论

针对临近空间高超声速跳跃滑翔式目标跟踪问题，基于SW模型对临近空间高超声速跳跃滑翔式目标类周期运动精确描述的基础上，考虑到自适应非零均值的机动适应能力，提出了一种自适应非零均值正弦波ANM-SW模型。并分析了ANM-SW模型与一阶Markov自适应非零均值模型的差别，此后，结合Kalman滤波推导ANM-SW模型动态误差，验证了ANM-SW模型机动适应性。仿真结果跟踪临近空间高超声速跳跃滑翔式目标时，ANM-SW模型跟踪精度高于SW模型，并通过设置不同运动模式分析验证了ANM-SW模型在机动适应方面的优越性。