摘 要：本文分别归纳了反比例函数图象、线性分式函数图象、双钩函数图象的特点和性质以及与标准双曲线的关系，并利用这些特点和性质对有关的数学问题进行归类解析.

关键词：双曲线;反比例函数;图象平移;双钩函数

作者简介：郑金（1966-），男，辽宁朝阳人，本科，高级讲师，研究方向：中学数学教学.

圆锥曲线中的双曲线在直角坐标系中的标准方程为x2a2-y2b2=1，其图象的对称轴是坐标轴，渐近线为过原点的两条倾斜直线，把这种双曲线称为标准双曲线.若将标准双曲线在坐标系平面内绕原点旋转一定的角度，则对称轴和渐近线都会发生变化，双曲线在直角坐标系中的方程形式也会发生变化，由此可形成各种函数.此外，把反比例函数图象在坐标系中进行平移，还可得到各种形式的函数.我们把这类对称轴不在坐标轴上的双曲线称为另类双曲线，对应的函数称为双曲线型函数.下面按三种情形进行举例分析.

1 反比例函数图象是双曲线

反比例函数y=kx（k≠0）的图象是关于原点对称的双曲线，渐近线分别为x和y轴.若k>0，则函数图象分布在第一、三象限，在每一象限是单调减函数;若k<0，则函数图象分布在第二、四象限，在每一象限内是单调增函数.

曲线方程为xy=k，对称轴方程为y=±x.

对于y=kx，若k>0，则由均值不等式可知x+y≥2 k，即在第一象限的横纵坐标之和存在最小值，即顶点的横纵坐标之和2 k.由于图象的顶点在对称轴y=x上，则它是等轴双曲线，可知顶点的坐标为（k，k），那么顶点间的距离为2 2k.半实轴和半虚轴的长度为a=b=2k，则由c2=a2+b2可知焦距2c=4k，离心率e=ca=2，焦点的横坐标x=csin45°=2k，纵坐标也为2k.由此可见，若将反比例函数y=kx（k>0）的图象按顺时针旋转45°，则可得到标准双曲线，其方程为x22k-y22k=1.

例1 求函数f（x）=1x2+1（1-x）2，x∈（0，1）的最小值.

解析 设a=1x，b=11-x，则1a+1b=1.

即a+b=ab.因此（a-1）（b-1）=1.

则点（a，b）的轨迹是等轴双曲线，对称中心为（1，1），实轴上的两个顶点为（0，0）和（2，2）.

显然，当a>1时，两点（a，b）与（0，0）的距离的最小值等于双曲线实轴的长度为2 2，即a2+b2的最小值为2 2，因此f（x）的最小值为8.

例2 已知a，b∈R+，a+b=1，求（a+1a）2+（b+1b）2的最小值.

解析 多项式（a+1a）2+（b+1b）2可看作点（a，b）与点（-1a，-1b）之间距离的平方.

因为a>0，b>0，a+b=1，则动点（a，b）表示的方程为x+y=1（x>0，y>0），是倾斜直线.

设x=-1a，y=-1b，由于a+b=1，则x+y=-xy，因此动点（-1a，-1b）表示的方程为（x+1）（y+1）=1（x<0，y<0），是等轴双曲线的一部分，如图1所示.

两条双曲线的对称中心为（-1，-1），其中一条双曲线的顶点坐标为C（-2，-2），由图1可知顶点到直线x+y=1的距离为5 22，是最小值.

所以（a+1a）2+（b+1b）2的最小值为252.

例3 二元函数（x-y）2+（x+1y+1）2的最小值是（ ）.

A.12B.2C.2D.32

解析 令d=（x-y）2+（x+1y+1）2，表示两点A（x，x+1）与B（y，-1y）之间的距离.

作出函数y=x+1与y=-1x的图象如图2所示，可知点A在直线y=x+1上，点B在双曲线y=-1x上.为了得到最小值，点B只能为第二象限内的双曲线顶点，即点B的坐标为（-1，1），可知实半轴的长度为2，则两点间距离d=22.所以函数f（x，y）的最小值为d2=12.选项A正确.

2 线性分式函数图象是双曲线

对于由两个一次函数之比构成的函数即分式线性函数y=ax+bcx+d（c≠0，ad≠bc），可变形为

y=ac（cx+d）+b-daccx+d=ac+kx+dc，k=bc-adc2.

其图象可由反比例函数y=kx平移而成，因此也称为反比例平移函数.对于y=f（x±a）（a>0）的图象，可由y=f（x）的图象向左或向右平移a个单位而得到;对于y=f（x）±b（b>0）的图象，可由y=f（x）的图象向上或向下平移b个单位而得到.其中“加减”对应“左右”或“上下”，即词语中文字的正常顺序是一一对应的.可简记为：若自变量加减常数则图象左右平移;若函数值加减常数则图象上下平移.

由此可知，将y=kx图象先向左平移dc，再向上平移ac，即可得到y=ax+bcx+d圖象.

由于y=kx图象的对称中心为O（0，0），可知y=ax+bcx+d图象的对称中心为M（-dc，ac）.

函数还可变形为方程的形式，即（x+dc）（y-ac）=k，由于xy=k曲线的对称中心为O（0，0），可知（x+dc）（y-ac）=k曲线的对称中心为M（-dc，ac）.

因此渐近线方程为x=-dc，y=ac，值域是y≠ac的一切实数，定义域是x≠-dc的一切实数.对称轴方程为y-ca=±（x+ba）.

无论如何平移，图象的间距、长度、对称轴方向、图象的弯曲程度以及单调性都保持不变，因为该图象的性质取决于y=kx的图象，仍然为等轴双曲线，焦距为2c=4 |k|，离心率为e=2.

例4 已知函数f（x）=ax+1x+2a在区间（-2，+∞）上是单调递增的，求实数a的取值范围.

解析 f（x）=ax+2a2-2a2+1x+2a=a-2a2-1x+2a=a+-（2a2-1）x+2a.

由此可知函数图象是对称中心为（-2a，a）的反比例双曲线，可由y=kx的图象平移而成.

由于f（x）是增函数，因此y=kx的图象分布在第二、四象限，则k=-（2a2-1）<0.

由于题中给出f（x）的单调区间是（-2，+∞），而渐近线x=-2a不能位于单调区间（-2，+∞）之内，则-2a≤-2.解得a≥-1.

例5 数列an满足an=n+13n-11，求此数列的最大值和最小值.

解析 将数列视为函数y=x+13x-11，则

y=13+1433x-11=13+149x-113（x≠113）.

可知函数图象由y=149x的图象平移而成，对称中心为（113，13），则渐近线方程为x=113，y=13.

由于反比例函数y=149x的图象分布在一、三象限，是减函数，因此y=x+13x-11是减函数，在渐近线x=113附近存在最大值和最小值.

由于n∈N+，可知当n=3时，an取最小值为-2;当n=4时，an取最大值为5.

例6 将y=1x的图象绕原点顺时针旋转45°得到双曲线x2-y2=2，则曲线y=x-4x-1的焦距为（ ）.

A.2 3B.2 6C.4D.4 3

解析 由于y=x-4x-1=1+-3x-1，可知其图象是由y=-3x图象平移而成，是双曲线，则焦距大小保持不变.

而y=-3x图象是等轴双曲线，可知a=b=2k=6，则c=12.

所以焦距为2c=43.选项D正确.

3 双钩函数图象是双曲线

对于由正比例函数与反比例函数之和构成的函数y=ax+bx（a>0，b>0），在区间（-∞，+∞）上的图象如图3所示.因此把这种函数形象地称为双钩函数或耐克函数，图象关于原点对称，即对称中心在坐标原点，是奇函数.其渐近线方程分别为x=0（y轴）和y=ax.由均值不等式c+d2≥cd可知，当且仅当ax=bx，即x=±ba时，函数y取极值为±2 ab.在第一象限内，在区间（0，ba]上是减函数;在区间[ba，+∞）上是增函数.定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），值域为（-∞，-2 ab）∪（2 ab，+∞）.

双钩函数图象也是双曲线，其顶点位于对称轴上，要注意顶点与极值点并非同一点.下面求其顶点坐标、半实轴长度、半虚轴长度以及焦点坐标.

设渐近线的倾斜角θ，过顶点的对称轴即实轴的倾斜角为α，与纵轴的夹角为β，则各角度关系为β=90°-α，2β=90°-θ，可知渐近线的斜率为a=tanθ，对称轴所在直线的方程为y=xtanα.

由于tanα=cotβ，tan2β=cotθ=1a，利用倍角公式可得tanα=a+1+a2.

将对称轴方程y=xtanα和曲线方程y=ax+bx联立，可得顶点的横坐标满足（tanα-a）x2=b，即x2=b1+a2，则y2=x2cot2β=x2tan2α.可知半实轴满足d2=x2+y2=2b（a+1+a2），即d2=2btanα.由此得半实轴的长度为d=2btanα.过顶点作切线与渐近线相交，则交点到顶点的距离为半虚轴，其长度为dtanβ=2btanαcotα=2bcotα.在第一象限双曲线的焦点坐标为（2bcotα，2btanα）.可见，半实轴的长度和半虚轴的长度分别与焦点的纵坐标和横坐标相等.若将双钩函数图象绕原点按顺时针旋转α角，则可得到标准双曲线x22btanα-y22bcotα=1.

双钩函数可变形为y=ax2+bx，由此可知，由一元二次函数与一次函数之比构成的分式函数也是双钩函数.y=ax2+b2x的值域为（-∞，-ab）∪（ab，+∞）.

例7 已知a>0，求a2+1a+1（a>-1）的最小值.

解析 y=a2+1a+1=（a+1）2-2a-2+2a+1=（a+1）+2a+1-2.

令a+1=x>0，则y=x+2x-2，x∈（0，+∞）.

由于双钩函数y=x+2x图象是双曲线，当x∈（0，+∞）时，图象位于第一象限，如图3所示，由极值条件x=2x可得x=2，此时y=x+2x取最小值，可知y=x+2x-2的最小值为f（2）=2+22-2=2 2-2.所以a2+1a+1（a>-1）的最小值为2 2-2.

例8 求证：sinx+cosx

证明 设f（x）=sinx+cosx，则f（x）=2sin（x+45°）≤2.

设g（x）=x2+5x2+4，则g（x）=x2+4+1x2+4.

令u=x2+4，则u∈[2，+∞）.

由函數φ（u）=u+1u的图象可知在区间[1，+∞）上是增函数，所以φ（u）在区间[2，+∞）上的最小值为φ（2）=2+12=52，即g（x）≥52.

可知f（x）≤2<52≤g（x），所以原不等式成立.

例9 求函数y=1+x21+x+x2+x1+x2的值域.

解析 令t=1+x21+x+x2，构造函数y=f（t）=t+1t-1.

首先求t的取值范围.对（t-1）x2+t·x+（t-1）=0，由判别式Δ=t2-4（t-1）2≥0，解得23≤t≤2，即t∈[23，2].

由极值条件t=1t，解得t=1.由于t=1∈[23，2]，因此y的最小值为ymin=f（1）=1.

两个极大值分别为f（23）=76，f（2）=32，故最大值为ymax=f（2）=32.

所以函数y的值域为[1，32].

例10 把双曲线x23-y2=1绕原点按逆时针方向旋转一定的角度α后，能得到某一个函数的图象.求：（1）角α的值;（2）新图象的渐近线方程.

解析 （1）标准双曲线在第一象限内的一条渐近线为y=bax=33x，则倾斜角θ满足tanθ=33，可知θ=30°，则该渐近线与y轴的夹角为α=60°，因此把双曲线x23-y2=1绕原点按逆时针方向旋转60°后，渐近线能与y轴重合.由此可得到一个新函数的图象.

（2）新函数为双钩函数y=Ax+Bx（A>0，B>0），图象的对称轴与y轴的夹角为β=30°，可知双钩函数图象的一条渐近线y=Ax与x轴的夹角为90°-2×30°=30°，则A=tan30°=33.所以新图象的一条渐近线方程为y=33x.

总之，反比例函数图象、线性分式函数图象、双钩函数图象都是具有离心率的双曲线，具有中心对称性和轴对称性.灵活利用这三种函数解析式的特点和性质解题，做到数形结合，则可拓展思路，化繁为简.

参考文献：

[1]胡旭光.数形联手速解题[J].数理天地，2009（03）：8+15.

[2]窦向前.一图在手，得心应手[J].数理天地，2011（07）：4-5.

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[4]邓波.a2+1a+1（a>-1）最小值的几种求法[J].理科考试研究，2019（03）：22-23.

（收稿日期：2019-07-16）