赵玉娟

摘   要：线性方程组不仅是“线性代数”的重要内容，也是科学研究和工程应用的基础知识。线性方程组分为适定、欠定和超定3种，但在“线性代数”课堂教学中往往仅涉及适定和欠定两种情况，而且欠定时仅给出由基础解系表示的解空间。文章从线性方程组的课堂教学入手，探讨了线性代数知识在科学研究和工程应用中的拓展。以“线性代数”课程中的线性方程组为例，探讨分析了在课堂教学中将基础知识延伸至科研热点和工程应用中的可行性。

关键词：线性方程组;稀疏低秩分解;前景目标提取

1    线性方程组概述

线性方程组分为欠定方程组、适定方程组和超定方程组3种情况，在“线性代数”的课堂教学中，教师往往只讲述适定方程组和欠定方程组两种。对于适定方程组，会求至最后的唯一解;对于欠定方程组，由于其有无数多个解，通常会给出由基础解系表示的解空间，告诉学生该欠定方程组的任一解都可以由基础解系线性表出。在科学研究和实际的工程应用中，对于欠定线性方程组，往往会附加条件，以便从由无数多个解构成的解空间中将需要的特殊解给找出来。教师在讲述该部分内容时，可以向最近的科学研究热点和工程应用上拓展，让学生感受到“线性代数”课程并不只是枯燥、无用的课堂知识，而是在现实生活中仍旧有着旺盛的生命力。

2    线性方程组的3种分类及求解

超定方程组是不可解的，但当引入最小二乘法后，可以得到超定方程组的最小二乘解，这些知识在“线性代数”课堂上都可以适当地向学生普及，使学生认识到学习“线性代数”课程的重要性、激发学习热情。本文接下来详细分析了线性方程组的3种情况，以及它们在科学研究和工程实践中的应用。

设有线性方程组：

Ax=b                                           （1）

其中，

，，

（2）

适定的情况，若：

（3）

此时线性方程组（1）有唯一解，可通过求增广矩阵的行最简矩阵得到这个解。

如果，

（4）

此时方程组（1）为欠定方程组，有无数多个解，这些解构成方程组（1）的解空间，可以由方程组（1）的一个特解η和其导出组Ax=0的一个基础解系ξ1，ξ2，…，ξn-r（A）组成的线性组合：

η+ξ1+ξ2+…+ξn-r（A）（5）

表示方程组（1）的任一解。在科学研究和工程应用中，往往会有额外的限定条件，通过这些限定条件在解空间中找到需要的解。比如从2010年左右出现，一直到现在都处于科研前端的稀疏低秩分解问题[1-3]，试图将一个混入异常值（outlier）的低秩矩阵分解成稀疏矩阵（由异常值构成）和低秩矩阵两部分，其中稀疏矩阵部分应用了压缩感知（Compressed Sensing，CS）的理论内容。

压缩感知理论主要有稀疏表示、线性观测和非线性重构3个部分，希望由观测向量ym×1通过方程组：

ym×1=Am×nxn×1，m<

将信号xn×1恢复出来，其中，矩阵Am×n形式同公式（2）。

这显然是一个欠定的线性方程组的求解问题，原则上不可能从由无穷解构成的解空间中找到正确的信号xn×1，但若给信号xn×1加上稀疏性的条件，即要求它在某个变换域Ψ中是稀疏的，则从无数多个解中寻找信号xn×1（唯一解）称为可能。当然，要能够由公式（6）得到争取的信号xn×1，稀疏变换矩阵Ψ和线性观测矩阵A要满足受限等距特性（Restricted Isometry Property，RIP）。

压缩感知理论及其延伸稀疏低秩分解在工程应用中也有广泛应用，例如视频监控图像中的前景提取[4]。随着社会发展，基于图像的视频监控系统越来越重要，被广泛地应用于社会的各个方面，视频监控包括：目标检测、目标跟踪、目标识别和目标行为分析等方面。目标检测是视频监控的一个重要组成部分，只有从背景中将运动的前景目标正确检测出来，才能有效进行视频监控的后续工作。

视频监控大部分是由固定的照相机拍摄完成，背景由于相机的抖动或者天气原因只会产生轻微差别，将视频中的每帧图像对应的矩阵排成一个列向量，之后按照视频中图像的顺序将这些列向量排成矩阵，这个矩阵则可以运用稀疏低秩分解理论分解成一个低秩矩阵和一个稀疏矩阵，其中，低秩矩阵的每一列对应于视频中相应图像中的背景，稀疏矩阵中的每一列对应视频中相应图像中的运动前景。

如果：

（7）

此时式（1）为超定线性方程组，将式（1）的左右两边同时左乘AT：

ATAx=ATb（8）

应用最小二乘法，可得方程组（8）的近似解为：

x=（ATA）-1ATb（9）

需要指出的是，式（9）给出的解并不是超定线性方程组（8）的精确解，而只是式（8）的近似解（与精确解的误差最小），由于式（8）是超定的线性方程组，其精确解并不存在。在科学研究和实际工程应用中，超定方程组经常会遇到，比如处理实验数据和曲线拟合时，往往会出现有效方程个数（系数矩阵A的秩）大于未知参量个数（自变量x的维数）的情况，这时就需要运用最小二乘法，找到与精确解最接近的近似解。

将课本中线性方程组解的适定和欠定两種情况，拓展到了适定、欠定和超定3种情况，并且把欠定时只求方程组的基础解系和通解拓展到了进而求解空间中满足特定条件（稀疏性）的特解，而这个满足稀疏性的特解实际上就是鲁棒主成分分析中的稀疏部分，在视频图像的背景和前景分离等方面都有重要应用。超定的线性方程组在处理实验数据和进行曲线拟合时经常会出现，需要根据具体的实际情况来选取与精确解误差最小的近似解。

3    結语

在“线性代数”的课堂教学中，教师可以将课本上的知识与当前热门的科研课题和工程应用结合起来，提升课堂教学的实用性，提高学生对“线性代数”的学习兴趣，并为他们将来继续深造打下扎实的基础。

[参考文献]

[1]彭义刚，索津莉，戴琼海，等.从压缩感知到低秩矩阵恢复：理论与应用[J].自动化学报，2013（7）：981-994.

[2]CHERAPANAMJERI Y，GUPTA K，JAIN P.Nearly optimal robust matrix completion[C].Sydney：The 34th International Conference on Machine Learning，2017.

[3]VASWANI N，BOUWMANS T，JAVED S，et.al.Robust subspace learning：robust PCA，robust subspace，and robust subspace recovery[J].IEEE Signal Processing Magazine，2018（v4）：32-55.

[4]JAVED S，MAHMOOD A，BOUWMANS T，et.al.Background-foreground modeling based on spatiotempoal sparse subspace clustering[J].IEEE Transactions on Image Processing，2017（12）：5840-5854.

Application of the “look” teaching of the linear equations

in the research and engineering practice

Zhao Yujuan

（School of Mathematics and Information Technology， Jiangsu Second Normal University， Nanjing 210013， China）

Abstract：The system of linear equations is not only the important content of the “Linear Algebra”， but also the basic knowledge of scientific research and engineering application. The system of linear equations is divided into three types， which are suitable， underfixed and overfixed. However， in the “Linear Algebra” class teaching， only two cases of proper and undefinite are involved， and the undertiming only gives out the solution space indicated by the basic solution. This paper starts with the classroom teaching of linear equations， and discusses the development of linear algebra knowledge in scientific research and engineering application. Taking the system of linear equations in the “Linear Algebra” course as an example， the feasibility of extending the basic knowledge to the hot spot of scientific research and the application of engineering is discussed.

Key words：linear equations; sparse low rank decomposition; foreground target extraction