陈耀光

(新疆大学数学与系统科学学院，新疆乌鲁木齐830046)

线性方程组是大学本科中工科线性代数的最重要也是最主要的部分，它贯穿于线性代数的始终，也可以说线性代数就是线性方程组的代数，因此在线性代数中对线性方程组的讨论已经比较充分，但在教学过程中，学生经常会问到两个线性方程组的解与解有什么关系？如何判断？如何求解？关于这一点工科线性代数中几乎没有讨论，在其它教材中也讨论甚少，即使有也不全面.而在文献[1]中，虽然对此进行了讨论，但所给结论的条件出现了漏洞.为此笔者通过查阅大量相关资料，并进行深入分析与研究，得到了本文相关结论及方法.

1 预备知识

设非齐次线性方程组

Ax=b，

(1)

其中

非齐次线性方程组的向量形式

x1t1+x2t2+…+xntn=b.

(2)

引理2非齐次线性方程组(1)有解的充分必要条件是向量b可由向量组t1，t2，…，tn线性表示.

2 两个方程组的解与解的关系

设有两个非齐次线性方程组

Ax=c

(3)

及

Bx=d,

(4)

其中

其所对应的齐次方程组

Ax=0

(5)

及

Bx=0

(6)

定义如果有n维向量x同时满足非齐次线性方程组(3)和(4)，则称向量x为非齐次方程组(3)和(4)的公共解.如果方程组(3)的任意解都是方程组(4)的解，而方程组(4)的任意解都是方程组(3)的解，则称方程组(3)和方程组(4)是同解的.

对于齐次方程组(5)和(6)也同样有非零公共解和非零同解的概念，这里就不再赘述了.

3 两个非齐次方程组有公共解的充分必要条件

反之，非齐次线性方程组(3)和(4)都有解，非齐次线性方程组(3)和(4)不一定有公共解.

4 两个线性方程组同解的充分必要条件

1.两个齐次线性方程组同解的充分必要条件.

引理6齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解的充分必要条件是

引理7齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解的充分必要条件是A的行向量组与B的行向量组等价.

定理1齐次线性方程组Ax=0与Bx=0有非零同解的充分必要条件是

2.两个非齐次线性方程组同解的充分必要条件.

在上面我们研究了两个线性方程组有公共解的问题.很明显，如果两个线性方程组同解，则这两个线性方程组一定有公共解.反之，当两个线性方程组有公共解时，这两个线性方程组不一定同解.而对于两个线性方程组同解的条件，文献[1]中对此进行了相应的讨论，并给出了如下两个结论(文献 [1]中的定理2)：

结论2设非齐次线性方程组(3)和(4)都有解，则非齐次线性方程组(3)和(4)同解的充分必要条件是所对应的齐次线性方程组(5)和(6)同解.

对于结论2，通过研究和讨论，其必要性是完全正确的，但其充分性是有问题的.对此，笔者从理论和实例两个方面来加以说明.

首先设向量组a1，a2，…，am是齐次线性方程组(5)的系数矩阵A的行向量组，向量组b1，b2，…，bs是齐次线性方程组(6)的系数矩阵B的行向量组.注意向量组a1，a2，…，am与α1，α2,…，αm的差异，向量组b1，b2，…，bs与β1，β2，…，βs的差异.

若齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解，由引理7知向量组a1，a2，…，am与向量组b1，b2，…，bs等价.而向量组a1，a2，…，am与向量组b1，b2，…，bs等价推不出向量组α1，α2,…，αm与向量组β1，β2，…，βs等价(如(1,2，-1)与(2,4，-2)等价，但(1,2，-1,1)与(2,4，-2,3)不等价)，从而推不出非齐次线性方程组(3)和(4)同解.

再则也可以看一反例：方程组

x+y=1

有解， 方程组

x+y=2

定理2设非齐次线性方程组(3)和(4)都有解，则方程组(3)和(4)同解的充分必要条件是所对应的齐次线性方程组(5)和(6)同解，且非齐次线性方程组(3)和(4)至少有一个公共解.

证必要性参见文献[1].

充分性.设RA=r.由已知非齐次线性方程组(3)和(4)所对应的齐次线性方程组(5)和(6)同解，所以RA=RB=r，并且Ax=0的基础解系ξ1，ξ2，…，ξn-r也是方程组Bx=0的基础解系.又因为Ax=c及Bx=d有解且至少有一个公共解，不妨设为η*，则

x=k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r+η*

既是Ax=c的通解，也是Bx=d的通解,所以方程组(3)和(4)同解.

定理3设非齐次线性方程组(3)和(4)都有解，则方程组(3)和(4)同解的充分必要条件是

此定理的证明可由引理4和引理6直接得到.

此定理的证明可由引理5和引理6直接得到.

5 两个方程组同解的判断及同解的求法

以下我们仅对非齐次线性方程组加以讨论，而对于齐次线性方程组其方法类似.

设有两个非齐次线性方程组

Ax=c

(3)

及

Bx=d.

(4)

如果能判断出(3)和(4)同解，则它们的同解的求法就很简单了，只要求出(3)或(4)的通解就行了.而同解的判断可以根据定理3的结论来加以进行.下面就通过具体实例来说明这一方法.

例1设非齐次线性方程组

讨论这两个方程组是否有公共解，是否同解？如同解，则求其同解的通解形式.

即已知的两个方程组所对应的齐次方程组不同解，所以已知的两个方程组不同解.

本例说明，在定理2的充分条件中两个非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组(5)和(6)同解的条件不可缺少，而在第四部分中的反例说明在定理2的充分条件中两个非齐次方程组(3)和(4)至少有一个公共解的条件不可缺少.

例2设非齐次方程组

讨论这两个方程组是否有公共解，是否同解？如同解，则求其同解的通解形式.

易知RB=2. 所以

由定理2知，已知的两个线性方程组同解，且同解的通解形式为

[1] 罗家贵. 关于线性方程组同解的条件[J]．大学数学，2012，28 (3)：141—145.

[2] 尹晓东. 线性代数习题课需要解决的几个问题[J]．大学数学，2012，28 (2)：139—141.

[3] 同济大学. 线性代数 [M]．5版．北京：高等教育出版社，2007.