裴启涛，丁秀丽，刘登学

(1.武汉市政工程设计研究院有限责任公司， 湖北 武汉 430023； 2.长江科学院 水利部岩土力学与工程重点实验室， 湖北 武汉 430010)

注浆法是加固软弱不良地质体、提高围岩整体稳定性及强度、封堵地下水流动的重要手段之一，在地下工程灾害治理中得到了较快的发展，而水泥-水玻璃浆液具有速凝早强、留存率高、凝结时间可控等优点，在注浆工程中获得了广泛的应用[1-3]。工程实践表明，浆液扩散半径、注浆压力与注浆速率等参数与工程设计、施工密切相关，其对工程灾害治理效果影响较大。然而，注浆理论发展较为缓慢，注浆参数的确定存在一定的盲目性和不确定性。因此，开展注浆扩散理论方面的研究具有重要意义。

鉴于此，本文选取较为常用的水泥-水玻璃作为注浆材料，采用流体力学理论同时考虑了浆液自重影响，建立能够反映浆液黏度时空变化的倾斜裂隙注浆扩散模型，并借助数值模拟手段对其有效性进行了论证。在此基础上，深入探讨了岩体裂隙产状对浆液扩散规律的影响，为水泥-水玻璃浆液设计参数的合理确定提供借鉴。

1 倾斜裂隙注浆扩散理论模型

在实际注浆施工中，一个注浆段常存在多条可灌裂隙，为研究方便，本文仅考虑单一倾斜裂隙的注浆情况，这也是分析多裂隙网格浆液扩散的基础。

1.1 基本假设

为了推导水泥-水玻璃速凝类浆液在岩体倾斜裂隙内的注浆扩散模型，假设如下：

(1) 浆液和水均视为均质、各向同性和不可压缩的流体。

(2) 除了注浆孔附近外，浆液在流动过程中均视为层流，且在注浆过程中浆液的配比和流型不变。

(3) 固壁边界无滑移条件成立，即浆液在流动时不会通过裂隙壁面流入岩体内部。

(4) 浆液在流动过程中，认为是完全驱替的扩散方式，同时忽略水对浆、水界面的稀释作用。

(5) 浆液只沿着岩体裂隙进行扩散，不考虑浆液渗透到裂隙两侧岩体引起的浆液损失。

1.2 浆液本构方程

由于速凝类浆液具有黏度时变性，采用宾汉流体方程来描述浆液的本构方程：

(1)

式中：τ、τ0分别为浆液的剪应力和屈服剪切力；μp(t)为浆液黏度随时间的变化函数；-du/dz为剪切速率；u为浆液的流速；z为铅直方向的距离。

1.3 浆液扩散运动方程

不妨假定水泥-水玻璃浆液在两平直、光滑平板所组成的裂缝进行径向流动，裂缝的等效水力开度为b，倾角为α，r为浆液流动方向，r轴的坐标原点位于灌浆孔轴线上，z轴的原点位于缝隙中心，其指向沿着裂缝开度方向，θ为裂隙面倾向线与浆液流动方向的夹角(简称“浆液扩散方位角”)。建立柱坐标系(r，θ，z)下浆液在倾斜裂隙面内的扩散示意图，见图1(a)。通过注浆孔取一个与裂隙垂直的平面进行研究，以裂隙中心为对称轴，取浆液微元体进行受力分析，浆液流动受力特征见图1(b)。图中，裂隙内为浆液，静水压力直接作用在液面上。

图1倾斜裂隙内的浆液扩散特征及受力分析示意图

对于不可压缩黏性流体，运动连续性方程为[16]：

(2)

浆液沿r轴运动，在z轴方向流速为0，则有：uz=0，uθ=0，可得：

(3)

在流体运动场中，选取六面体流体微元进行力学平衡分析，采用牛顿运动定律，获得了惯性系黏性流体运动的动量方程。对于柱坐标系中，沿r轴的方程如下：

(4)

式中：ρ为流体密度；ur、uθ分别是流速沿坐标轴的分量；Fr为沿着r方向的单位质量流体自重分量。

结合本构方程(1)，柱坐标系下的应力-流速关系如下：

(5)

式中：p为平均法向压应力。

将式(2)、式(4)带入式(3)，忽略高阶小量，同时将pzr记为τ，ur记为u，可得：

(6)

通过对单元体的力学平衡微分方程进行受力分析，推导的截面剪切应力和截面速度方程如下：

(7)

由于宾汉流体的流动存在流核，流核高度在浆液流动过程中是随着压力梯度变化的。对于C-S速凝类浆液，流体阻力较大，同一条件下，其扩散范围要比水泥浆液小的多，因此需要考虑流核高度的变化，流核高度计为2zb。

(8)

对上述进行积分可得：

(9)

(10)

忽略高阶项，可得：

(11)

1.4 浆液扩散区内的压力时空分布

在浆液流动过程中，依据质量守恒定律，可得：

(12)

(13)

对于t时刻，扩散距离rt时：

(14)

(15)

将浆液从r处到t时刻位置进行积分，可得：

(16)

根据速凝类浆液的黏度-时间特性，采用简化的黏度-时间函数进行拟合，即：

μ(t)=AtB

(17)

式中：A、B为常数。

将式(17)代入式(16)，可得注浆压力时空分布方程，即p-r-t关系为：

(18)

注浆压力-时间分布关系，即p-t关系：

(19)

注浆压力-空间分布关系，即p-r关系：

ρgsinαcosθ)(r-r0)+Pw

(20)

可见，当岩体裂隙面倾角α=0时，即为水平平板裂隙情况，退化后的公式(18)—公式(20) 与文献[8]的推导结果一致，表明本文的构建的注浆扩散理论模型更具有一般性，可以求解任意空间产状裂隙的注浆时空扩散分布特征，而以往的水平平板裂隙扩散模型只是本文的一个特例。研究还表明，对于C-S速凝类浆液，其在岩体倾斜裂隙中的扩散特征主要取决于浆液性质、裂隙产状和地下水压力。

2 算例验证

本节构建了三维有限元分析模型，同时借助于室内试验成果，模拟了速凝类浆液在倾斜裂隙中的浆液扩散特征及压力分布规律，进一步验证了理论模型的有效性。

2.1 模型的构建

有限元三维分析模型尺寸为2 m×2 m×0.005 m，注浆孔半径0.02 m，位于模型中心。模型左、右边界为定压力边界，边界压力为静水压力。模型上、下边界及两侧边界均为无流动边界，注浆孔施加定流量边界。几何模型采用三角形网格划分，临近注浆孔附近的网格适当加密，有限元网格模型及施加的边界条件见图2。

2.2 C-S双液浆数值计算参数

目前，受流体黏度测试水平的制约，只能获取速凝类浆液表观黏度与时间的变化关系。根据文献[8]试验结果，在反应时间0～70 s、反应温度20℃条件下，当水泥浆水灰比C∶W=1∶1、水泥-水玻璃体积比C∶S=1∶1时，C-S浆液的表观黏度-时间关系见式(21)，数值计算模型计算参数见表1。

图2 有限元网格模型及施加的边界条件

μ(t)=0.003182t2.23+0.04

(21)

将式(14)、式(21)联立求解，获得的浆液黏度空间分布函数如下：

(22)

在浆水混合区域的流体黏度定义为浆液与水混合之后的平均黏度，其计算如下：

(23)

式中：sg、sw分别为浆液和水的体积分数；μg、μw及μ分别为浆液、水和浆水混合后的黏度。

2.3 数值模拟与理论结果对比

为了便于分析，取裂隙倾角a=0°、30°，裂隙方位角θ=0°、180°，研究倾斜裂隙浆液扩散过程及压力分布规律。不同裂隙面倾角和方位角下的注浆压力-时间变化曲线见图3，注浆时刻t=55 s时的浆液压力-空间分布曲线见图4。对图进行分析可知：

图3 注浆压力-时间的变化关系

图4t=55 s时的浆液压力-空间分布曲线

(1) 理论计算与数值模拟获得的注浆压力-时间、浆液压力-空间曲线变化趋势基本一致，二者误差较小，最大误差均不超过10%，表明应用本文所获得的理论计算值与数值模拟结果吻合较好，进一步论证了理论模型的有效性。

(2) 注浆压力理论值略大于数值模拟结果，笔者认为，这是由于在数值计算中考虑了水对浆液的稀释作用，即浆水混合区的黏度要低，而理论分析中未考虑水对浆液的稀释作用，从而导致数值分析中的浆液扩散粘滞阻力要低，因此，理论计算获得的注浆压力要大于数值模拟值。

(3) 注浆压力随时间变化呈现指数型增长规律，即随着注浆时间的持续，注浆压力逐渐增大，在注浆初期的注浆压力增长速率较小，而在注浆后期的注浆压力增长速率明显加快，这与公式(21)中的浆液黏度-时间指数函数相一致。

可见，本文构建的注浆扩散理论模型和数值分析结果吻合较好，均合理地描述了速凝类浆液沿倾斜裂隙流动的扩散过程，表明本文构建的注浆理论模型是有效的、合理的，为深入探讨倾斜裂隙下的浆液扩散机制提供了理论基础。

3 岩体裂隙产状对注浆压力的影响

基于上述理论模型，本节取裂隙倾角α=0°、30°、60°和90°，浆液扩散方位角θ=0°、60°、120°和180°，并将表1中的计算参数代入公式(19)、公式(20)，深入探讨岩体倾斜裂隙在不同产状下的注浆压力与注浆时间和浆液扩散距离的关系。

3.1 不同裂隙产状下注浆压力-时间分布特征

图5给出了不同倾角和浆液扩散方位角时的注浆压力随时间变化曲线。由图5可知：注浆压力随着注浆时间的延长而增大，在注浆初期，注浆压力增长速度较为缓慢，而注浆后期的增长速度明显加快。

图5不同裂隙产状下的注浆压力-时间变化曲线

当浆液扩散方位角θ≤90°时，即浆液运动方向与裂隙面倾斜方向总体一致，随着裂隙倾角的增大，在相同时间内的注浆压力较小，这是由于裂隙面倾斜时，浆液具有向下的自重分量，其与注浆压力一起克服浆液阻力，促使浆液向下运动，在恒速率注浆情况下，裂隙倾角越大，注浆压力越小，且当注浆时间t=60 s时，浆液扩散方位角θ=0°、倾角α=90°时的倾斜裂隙注浆压力为水平裂隙的0.62倍。

当浆液扩散方位角90°<θ≤ 180°，即浆液运动方向与裂隙面倾斜方向相反时，裂隙倾角越大，注浆压力相应就越大，增大的注浆压力用于克服浆液自重和粘滞阻力双重作用；当注浆时间为60 s时，浆液扩散方位角θ=180°、倾角α=90°的倾斜裂隙注浆压力为水平裂隙的1.38倍。

3.2 不同裂隙产状下浆液压力-空间分布特征

图6给出了t=45 s时刻不同倾角和浆液扩散方位角时的浆液压力离注浆孔距的变化曲线。对图6进行分析可知：裂隙倾角和浆液扩散方位角对浆液压力的空间分布特征产生显著影响，呈现明显的空间非线性、非均匀性特征。

当浆液扩散方位角θ≤90°时，即浆液运动方向与裂隙面倾斜方向总体一致，浆液压力随着注浆孔距的增大呈现先增大后减小的特征，浆液的最大压力并非出现在注浆孔口附近，而是距离注浆孔口某一位置，该距离主要取决于裂隙浆液扩散方位角、浆液自重和粘滞阻力的大小；此外，随着倾角的增大，距注浆孔中心相同距离的压力较小，这主要是由于裂隙面倾斜时，浆液具有向下的自重分量，其与浆液压力一起克服浆液粘滞阻力，促使浆液向下运动，在恒定的注浆速率条件下，裂隙倾角越大，浆液自重分量越大，浆液压力相应就越小；在注浆初期注浆孔口附近，浆液扩散方位角θ=0°、倾角α=90°的倾斜裂隙浆液压力为水平裂隙的0.39倍。在注浆后期，即当浆液扩散距离超过该峰值压力位置后，浆液压力迅速减小，表明浆液扩散锋面处的浆液黏度远高于注浆孔附近的黏度，导致浆液扩散锋面处的压力梯度远大于注浆孔附近的压力梯度，此时浆液自重作用影响相对较小。

图6不同裂隙产状下的浆液压力-扩散距离变化曲线

当浆液扩散方位角90°<θ≤180°，即浆液运动方向与裂隙面倾斜方向相反时，浆液压力由注浆孔向四周衰减，注浆孔附近的浆液压力最大。在注浆初期，浆液黏度较低，距离注浆孔较近处的浆液压力梯度量值较小，浆液压力曲线衰减相对平缓；随着裂隙倾角的增加，距注浆孔中心相同距离的浆液压力相应就越大，这主要是由于裂隙面倾斜时，浆液具有向下的自重分量，增大的浆液压力用于克服浆液自重分量和粘滞阻力双重作用；在注浆初期注浆孔口附近，浆液扩散方位角θ=180°、倾角α=90°时的浆液压力为水平裂隙的1.61倍。在注浆后期，浆液压力衰减呈现明显的非线性特征，浆液扩散锋面处的黏度和压力梯度比注浆孔附近的数值要大的多，此时，浆液自重作用影响相对较小。

综上所述，浆液扩散方位角和裂隙倾角对注浆压力随着时间和空间变化产生显著影响。因此，在实际注浆过程中，应结合注浆部位岩体裂隙的空间产状选取相应的注浆参数进行灌浆试验，当裂隙面产状变化时，合理估算注浆压力最优化参数的变化范围，减少最优参数确定的盲目性，提高注浆效率。

4 结 论

(1) 基于流体力学理论及宾汉流体本构方程，建立了倾斜裂隙注浆扩散理论模型，并推导了浆液扩散区内的黏度及压力时空分布方程。理论和数值分析表明，注浆压力和浆液压力最大误差均不超过10%，表明理论计算值与数值模拟结果吻合较好，进一步论证了理论模型的有效性。

(2) 与以往注浆模型相比，本文构建的模型不受裂隙面产状的影响，可以定量确定任一倾斜裂隙在浆液扩散区内的注浆压力与注浆时间和浆液扩散距离的关系，进一步拓宽了该模型的应用范围。

(3) 岩体裂隙倾角和浆液扩散方位角均会对注浆压力随着时间和空间变化产生显著影响。当浆液扩散方位角θ≤90°时，同一时间下，浆液压力随着注浆孔距的增加呈现先增大后减小的特征，且浆液压力和注浆压力均随着倾角增加而减小；当90°<θ≤180°，同一时间下，浆液压力由注浆孔向四周衰减，浆液压力和注浆压力均随着倾角增加而增大，增大的注浆压力用于克服浆液自重和粘滞阻力双重作用。可见，考虑裂隙面的空间产状是非常必要的。

(4) 在实际注浆过程中，速凝类浆液在短时间内物质形态会发生相变过程，即采用的单一的非牛顿流体本构模型难以准确地描述这一复杂特征，后续有必要在该方面做进一步探讨。