王律奇

[摘  要] 探究数学规律是发现新知的重要手段，对于思维的提升极为有利. 而近几年的中考中出现了众多的规律探究题，且题型灵活多样，对学生的问题分析、知识总结能力要求较高，文章将剖析规律探究题的类型，探究问题的解法策略，以供读者学习参考.

[关键词] 规律探究题;解法策略

问题起源

初中阶段的数学教学重点是指导学生掌握相应的知识，获得解题的方法，另一个教学目标是拓展学生的思维，促进学生核心素养的发展，而后者应成为数学教学的核心. 其中培养学生的创造性思维尤为重要，而学习规律探究型问题是提升学生创造性思维的重要方式之一，学生在规律发现的过程中需要充分观察、推理、归纳、猜想，因此对学生的思维有着极大的锻炼. 同时新课程标准推行以来，规律探究题也逐步成为中考的热点问题，因此深入探究规律探究题的问题类型和解法策略有着深远的意义.

类型分析

初中数学的知识内容大致可以分为代数和几何两类，这个分类对于规律探究题同样适用，中考在考查时只是做了进一步的细化，例如以数为基础进一步衍生出数式类规律题、函数类规律题，以几何为基础衍生出图形变换规律题、坐标变换规律题等，且每一类规律探究题均有其对应的特点.

1. 数式类

该类规律题一般以数的变化为重点，常见的呈现方式有两种：一种是直接给出具有特定规律的数或算式，另一种是给出具有规律变化的代表个数的原点，均需要学生完善或进一步推演规律.

2. 函数类

函数类规律题则是以初中常见的函数知识为基础，题干一般给出对应的函数关系或者关系式，需要学生结合自身对函数的理解对其加以完善，或推理出后续的函数关系式.

3. 图形变换类

该类型是几何综合的代表，题干一般给出一系列具有关联性的图形，以及图形生成的具体操作，需要学生结合几何性质，从中发现衍生规律.

4. 坐标变换类

该类规律题最为特殊，一般是几何与函数知识的综合，以点坐标和线段长的变换作为图形衍生递推的基础，以几何性质和数式变化作为规律生成的媒介，且在直角坐标系中构建了相应的数形规律，因此规律的探究需要调用几何与代数两大知识模块.

策略探究

规律探究题实际上就是初中数学代数与几何的排列组合，其中必然隐含着数学规律，因此解题分析过程实际上就是使用合理的策略找到问题的突破口. 而对于不同类型的规律探究题，其解法策略也有所不同，下面结合考题对其加以深入解读.

1. 策略一：举例归纳，发现规律

对于一些以数值或算式为主体的规律探究题，最为快捷的方法是举例验证，即首先按顺序列举出数的运算过程和结果，然后归纳出规律，并对其加以验证. 有时由于列举的数值量不够容易造成规律得出的错误，因此在列举时应适当多举例.

例1古希腊数学史上将1，3，6，10，15，21…叫三角形数，其中含有一定的规律，例如将第一个三角形数记作是a1，第二个三角形数记作a2，……，将第n个三角形数记作an，然后依次计算a2-a1，a3-a2，a4-a3…由此推算，试求a100-a99和a100的数值.

解析  上述题目给出了相应的算式排列，解题的关键是分别计算出a2-a1，a3-a2，a4-a3的数值，并发现其中的规律，然后推导出a100-a99和a100的数值，显然使用列举法更为高效. 观察三角形数可确定a2-a1=3-1=2，a3-a2=6-3=3，a4-a3=10-6=4，类推a5-a4=15-10=5，从而可推得a100-a99=100. 而a2-a1+a3-a2+a4-a3+…+a100-a99=，即a100-a1=5049，已知a1=1，所以a100=5050.

2. 策略二：排列类比，递推规律

探究算式规律是代数类规律探究题的重要类型，题干一般会给出一系列的算式，因此在解析时可以按照一些顺序对其加以排列，通过数列推导、类比参照的方式总结其中的通式，从而获得最终答案.

例2  （2018年临安中考）已知：2+=22×，3+=32×，4+=42×，5+=52×，…. 若10+=102×符合前面式子的规律，试求a+b的值.

解析  题干给出了一些具有排列规律的数式，并对a和b进行了设定，求a+b的值可以采用排列类比的方式，分别获得a和b所代表的通式，然后确定最终答案. 观察题目给出了四个等式，类比总结可知对于，其中的b=n+1，而a=（n+1）2+1（其中的n表示对应的第n项式），因此对于第10项可知b=10，a=99，所以a+b=109.

3. 策略三：关注特征，循序归纳

几何类规律题必然涉及几何特征或对应性质，因此在分析该类问题时需要充分把握图形的特征结构，适当结合几何性质，根据图形的变化特点来逐步发现其中的变化规律，并对其加以总结.

例3如图1所示，△ABC的面积为1，现对其逐次进行如下操作变形：

第一次，将AB，BC和CA分别延长至点A1，B1，C1，并使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，然后顺次将点A1，B1，C1连接起来，从而得到了△A1B1C1，并记△A1B1C1的面积为S1;第二次进行同样的操作，将A1B1，B1C1和C1A1分别延长至点A2，B2，C2，并使得A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，然后顺次将点A2，B2，C2连接起来，从而得到了△A2B2C2，并记△A2B2C2的面积为S2……之后一直按照上述规律进行操作，可以得到△A5B5C5，试求△A5B5C5的面积S5的值.

解析  本题目属于几何变化规律探究题，首先需要理解作图的具体操作，关注图形的特征及关联，然后利用相应的几何知识发现其中的规律. 第一步中表明A1B=2AB，而△A1BC與△ABC可以视为是以点C为顶点，底边共线的关联三角形，因此两三角形底边上的高相等，其面积大小只与底边长有关，即S△A1BC=2S△ABC，同理可确定S△A1B1C=2S△A1BC，可得S△A1B1B=6S△ABC，以此类推，可确定S△C1B1C=6S△ABC，S△A1C1A=6S△ABC，所以S△A1B1C1=19S△ABC . 最后按照这样的推理可计算出S5=195=2476099.

4. 策略四：数形结合，衍生规律

而對于以直角坐标系为基础构建的图形变化规律，考虑到其中涉及几何变化和点坐标、线段长的递变，因此采用数形结合的解题策略更为有效. 即首先从“形”的角度理解图形变化，提取其中的几何特征，然后从“数”的角度，借助直角坐标系将点和线的变化数量化，并构建相应的规律模型，最终实现求解.

例4（2018年广西贵港中考）如图2所示，直线l为y=x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2;再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3;……，按此作法进行下去，试求点An的坐标.

[图2][O][x][y][A1][A2][A3][A4][B3][B2][B1][l]

解析  本题目是以直角坐标系为背景展开的几何衍生，需要确定A系列点的坐标规律，实际上属于线段的长度规律题. 考虑到A系列点均位于x轴上，因此只需要归纳出OAn的长度通式即可. 首先阅读题干操作，可知线段AnBn均垂直于x轴，B系列点均位于直线l上，而△OAnBn均属于直角三角形，且∠O=60°，因此可利用直线l的解析式确定B系列点的坐标. 如对于点B1，由点A1（1，0）可得点B1（1，）. 在Rt△A1OB1中使用三角函数，可知OB1==2，即OB1=2OA1=2，而根据扇形的性质可得OB1=OA2，即点A2（2，0），依次递推可得A2（4，0），A3（8，0）A4（12，0），显然A系列点的横坐标值符合常见的数列规律，即xAn=2n-1，所以点An的坐标为（2n-1，0）.

解后思考

规律探究题的类型很多，涉及的知识点众多，因此掌握合理的解题策略，利用合适的分析方法开展规律探寻是解题的关键所在. 上述只是其中较为常用的几种解法策略，而在实际教学中需要教师逐步引导，帮助学生建立相应的解题思路，主要有以下几点.

1. 重视读题，提取信息

一般规律探究题会给出大量的图文信息，因此理解所给信息的含义是后续推理的基础，例如理解数据变化、图形衍生的过程、直角坐标系中线段绘制的操作等，然后从图形和文字两方面来提取信息. 因此在实际教学中需要教师强调读题重点，指导读题、信息提取的技巧，帮助学生养成良好的读题习惯.

2. 重视归纳，知识调用

规律探究题的第二个阶段是对所提取的信息进行归纳，然后利用自身所学知识来分析其中的规律. 例如对于直角坐标系中的数形变化规律题，从中可以提炼出关于点坐标、线段长、几何面积等信息，而这些信息链之间存在着一定的关联性，因此需要学生对其加以归纳，并利用所学知识进行分析. 而在教学中教师应从基础知识入手，引导学生关注知识间的联系，建立相应的知识网络.

3. 重视提炼，总结规律

规律题探究最为重要的阶段是对归纳的规律进行提炼生成，例如总结出相应的数式通式，点坐标的计算通式，将其上升到一般适用的规律层面. 这个阶段需要利用一定的提炼技巧，例如类比法，函数衍生法等. 而在教学中需要教师呈现规律提炼的具体过程. 让学生掌握提炼的技巧，提升学生的知识总结能力.