北京三帆中学 李 林

初中数学图形操作题是以图形为载体，通过一系列的测量、计算等活动，获得猜想，进而推理甚至验证得出结果的一类数学题，解决这类问题既动手又动脑，能够有效检验学生的创新思维、创造意识和实际操作能力。

一、初中数学图形操作题的特点

（一）信息量大，注重基础知识考查

初中数学图形操作题都是图文并茂的。首先要对图形用一些理念或理论进行概念界定、比较，其次对于某些操作还要描述操作的动作和步骤，这使得图形操作题所蕴含的信息较多，知识传递量也在无形中增加。

根据《义务教育数学课程标准（2011年版）》的要求，中考数学图形操作题通常考查图形几何教学中涉及的图形的性质、图形的变化、图形与坐标这三方面的基础知识。其中，图形的性质包含点、线、面、角、相交线与平行线、三角形、四边形、圆、尺规作图、勾股定理及其逆定理等；图形的变化包含图形的轴对称、平移、旋转、相似、视图与投影等；图形与坐标包含图形位置、运动与坐标的联系。

（二）抽象性强，注重能力考查

在图形操作题中，由于图形占据了大量信息，形成了较为抽象的关系和空间的形式。此外，加上部分题目信息隐藏，需要学生结合已学知识，在探索、推理及猜想的情况下获知，更是大大加深了该类题目的抽象程度。图形操作题中涉及的数学概念上存在抽象性，对于数学方法乃至解题方法的本身也是抽象的，学生在解题过程中，往往需要推理和探索结合并用，才能化解该类抽象问题。

初中数学重视对核心概念的考查，而图形操作题更突出推理能力、模型思想、应用意识和创新意识的考查，这说明图形操作题注重能力立意，重点考查学生的推理能力，以及探究并利用所给新知识和模型及时应用甚至进行创新的能力。

此外，近年来的考查越来越多地将空间观念、几何直观、推理能力、应用意识等核心概念进行突出及合并，在解题推理过程中不断体现。

（三）实践性强，注重过程考查及关注不同层次学生

初中学生的认知维度分为了解、理解、掌握、灵活运用四层，每年中考数学关于图形操作的部分有不同体现：选择填空题中对于学生的认知维度要求较低，只要对定义和定理有了解，或者借助于现场的动手操作就可以完成。而综合题中对于学生的认知维度要求较高，首先都是给出一个范例，希望学生能仿造这种方法或沿着这种思路进行下去，进而可以对一种简单或特殊的情形进行解答，这对于大部分学生都是可以完成的。接下来会对问题进行变化，在学生充分理解了方法原理后解决更复杂的问题。在解答后续问题时，相当于给定了一个新的概念，在得到的新概念基础上进行解答。这种获得新事物后进行进一步解析推理的做法，充分体现了数学思维养成方式的训练。该类题既贴近现实，又能够充分体现数学的思辨价值和科学价值。注重过程的考查，能够较为全面地检视学生阅读理解能力、现场学习能力和分析问题、解决问题的能力。

二、初中数学图形操作题的常见分类

按照对图形原状的改变程度，图形操作题可以分为四种：不改变原图在平面内画出新的图形称为作图类型；不改变原图在空间内通过折叠方式造出新的图形称为折叠类型；改变原图形状形成新的图形称为分割类型；多个原图（包含分割后的）通过拼接形成新的图形称为剪拼类型。

（一）作图类型

这种类型的操作题，结果是画出符合题意的图形，但是过程是呈现学生的基本尺规作图，以及平移变换、轴对称或是中心对称变换、旋转变换或位似变换。

例1：如图，在△ABC和△CDE中，AB=AC=CE，BC=DC=DE，AB＞BC，∠BAC=∠DCE=点B、C、D在直线l上，按下列要求画图（保留画图痕迹）：

（1）画 出 点E关 于 直 线l的 对 称 点E'，连 接CE'、DE'；

（2）以点C为旋转中心，将（1）中所得△CDE'按逆时针方向旋转，使得CE'与CA重合，得到△CD'A。画出△CD'A。解决下面问题：

①线段AB和线段的位置关系是_______；理由是____；

此题首先是综合考查学生作图的能力，（1）考查轴对称作图中最基本的点的对称，按照其要求作图即可，不会对后面的分析造成阻碍。（2）考查三角形的旋转作图，已知旋转中心、旋转方向，但是旋转角是间接给出的，为后续的解题埋下伏笔。只有通过一步步作图，领会作图过程中产生的等量关系，结合已知条件中所给出的边相等可得到等腰三角形这一潜藏答案。之后，通过找到AC的垂直平分线，与以C点为中心、腰长为半径的弧相交点D',这样就可以通过内错角相等，得到线段AB和线段CD'的位置关系是AB∥CD'。

能否根据题目要求准确作图，是解答该类作图题及保证后续答案正确性的途径之一。

例2：(1)观察发现

如图(a)，若点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小。做法如下：作点B关于直线的对称点′，连接′，与直线的交点就是所求的点。

再如(b)图，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小。做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为______ 。

(2)实践运用

如图(c)，已知⊙O的直径CD为4，AD的度数为60°，点B是弧AD的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值。

(3)拓展延伸

如图(d)，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留作图痕迹，不必写出作法。

此题所用数学知识是轴对称作图，但是它对于学生挖掘潜藏信息，进行了充分的铺垫。其中对于解题线索的设置，每一步都有迹可循，且具有较强的导向性，这样在一定程度上消除了学生对于新类型题及新概念出现的恐惧心理。

这种引导学生观察发现，联系新旧知识，然后运用拓展的题目能考查并培养学生的阅读理解能力、现场学习能力，是适合学生认知学习规律的。

（二）折叠类型

这种类型的操作题，其本质就是轴对称，因为折叠后有重合的部分，那么对应线段、对应角就有相等关系，折痕就是对称轴。这类题不仅考查学生的动手能力，更能考查学生分析和解决问题的能力。

例3：如图①，将一张直角三角形纸片ABC折叠，使点A与点C重合，这时DE为折痕，△CBE为等腰三角形；再继续将纸片沿△CBE的对称轴EF折叠，这时得到了两个完全重合的矩形（其中一个是原直角三角形的内接矩形，另一个是拼合成的无缝隙、无重叠的矩形），我们称这样两个矩形为“叠加矩形”。

（1）如图②，正方形网格中的△ABC能折叠成“叠加矩形”吗？如果能，请在图②中画出折痕；

（2）如图③，在正方形网格中，以给定的BC为一边，画出一个斜三角形ABC，使其顶点A在格点上，且△ABC折成的“叠加矩形”为正方形；

（3）如果一个三角形所折成的“叠加矩形”为正方形，那么它必须满足的条件是__________；

（4）如果一个四边形一定能折成“叠加矩形”，那么它必须满足的条件是__________ 。

这道题是以折叠的操作定义了“叠加矩形”，考查并锻炼了学生的阅读理解能力、现场学习能力。首先，怎么得到等腰△CBE的？条件是对应点A与C重合，DE为折痕，根据折叠的性质，也就是轴对称的性质得到折痕DE为对称轴，也就是AC的垂直平分线。∴AD=DC，∠ADE=∠EDC=90°，∴DE∥BC，进而由平行线分线段成比例定理得出CE=BE，∴△CBE是等腰三角形。短短几个字隐含了严谨的逻辑推理。

其次，得到的矩形与原图形在边、角上有什么联系？不考虑特殊的边——直角边，而关注一般边——斜边，这样才能揭示出D、E是中点，而原三角形的边BC的一半等于矩形的宽，矩形的长等于原三角形的边BC上的高的一半。进而问题（1）、（2）、（3）才能清晰地得到解决。

折叠类型的图形操作题都是这样考查折叠的本质也就是轴对称的性质，所以在审题和思考解题方法的过程中要挖掘出对称轴、对应边、对应角的关系。

（三）分割类型

分割问题一般是先给出特定形状的图形，然后根据图形的特性，要求学生用各种辅助手段对图形进行分割，实现分割后的图形满足某种设定的条件。

例4：以下两图是一个等腰Rt△ABC和一个等边△DEF，要求把它们分别分割成三个三角形， 使分得的三个三角形互相没有重叠部分，并且△ABC中分得的三个小三角形和△DEF中分得的三个小三角形分别相似。请画出两个三角形中的分割线，标出分割得到的小三角形中两个角的度数。

这道题的条件等腰Rt△ABC和等边△DEF蕴含着特殊锐角：30°、45°、60°，那么分得的6个相似的三角形就会包含这些锐角，所以可以从角开始尝试，进行分类讨论。若从60°着手，那么等边三角形就可以用图形的对称性先分出一个含60°的直角三角形，再分出等腰直角三角形。进而得到：

有了这一种分割方法，就可以再尝试从45°着手，得到：

解决该类问题时，要注意利用图形的对称性、中点性质、角平分线性质、等腰三角形性质、直角三角形性质、圆的性质以及面积关系等进行分割，要关注边等、角等的方法并灵活运用分类讨论思想。

（四）剪拼类型

剪拼类型的图形操作题是将图形按照一定的规则拼接在一起，考查的是学生的观察分析及推理想象能力。此外，解题过程中，对于学生的判断能力和认知能力也有一定涉及。通过解决该类型题，学生的基础知识、对图形的认识和对特征的判断可以得到检验。解决这类题的时候，利用面积这个不变量是关键，而一些模型意识，例如勾股定理证明中的弦图等也是经常考查的要素。

这道题首先考虑到拼接前的直角边要成为拼接后正方形的边，而非直角边只能在正方形内重合，于是（1）的简图是：

因为y≠0，所以，解得（负值舍去）

上述题目是一种新的尝试，这类问题以数学基本活动经验为基础，通过经验回忆、动手操作、想象、总结等途径感知图形的实际变化，考查学生的阅读理解能力、知识迁移能力、类比猜想能力、数学探究能力、数学创新意识等。《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“有效的数学学习活动不能靠单纯的模仿与记忆，动手实践、自主探究是数学的主要学习方式。”所以，这些题可以让学生在观察、操作等实践活动中，进一步认识到数学对于了解和改造周围世界有巨大作用。