陈清江 杜丽英

摘 要：矩阵方程是未知数组成矩阵的方程。常见的矩阵方程有三种 ， ， 当矩阵 是可逆方阵时，用逆矩阵法或初等变换法得出矩阵方程的解，但是当矩阵 不是方阵或不可逆时，这些矩阵方程是否存在解，如何求解。本文提出元素法与广义逆矩阵法求解矩阵方程。当矩阵 不可逆时，运用元素法将矩阵方程转换为线性方程组来求解。当矩阵 不是方阵时，给出求解矩阵方程的广义逆矩阵法。最后，给出满足初始条件的矩阵微分方程的求解公式以及满足不同初始條件的矩阵微分方程解的关系式。

关键词：矩阵方程 广义逆矩阵 矩阵值函数 矩阵微分方程

一、引言

研究矩阵方程问题不仅具有重要的理论意义而且在结构设计、参数识别、固体力学、动态分析、结构动力学、分子光谱学、自动控制理论、振动理论、非线性规划、等领域都具有重要应用，譬如在工业控制系统中，不同的输入将在不同的环境下对应不同的输出，这个时候需要用状态方程来表示，从数学表达式上看状态方程就是矩阵方程；在电路中用“节点分析法”书写电路方程时采用公式化的矩阵方程。这些工程领域的问题促进了矩阵方程求解理论的发展，使得矩阵方程求解问题成为应用数学的研究课题之一。