张娜娜 李淑静2)† 闫红梅 何亚亚 王海2)

1)(山西大学光电研究所,量子光学与光量子器件国家重点实验室,太原 030006)

2)(山西大学,极端光学协同创新中心,太原 030006)

(2018年3月2日收到;2018年9月27日收到修改稿)

1 引 言

薛定谔猫态,又称宏观量子叠加态[1−8],因其独特的非经典特性,一直以来都是人们的研究热点.薛定谔猫态还是一类重要的非高斯态,可以用于量子隐形传输[9],量子计算[10,11]等.过去的二十几年间,在原子系综[12]、固态系统[13]和光学系统[14,15]中一些薛定谔猫态的产生方法被相继提出,目前实验上最常用的方法是通过真空压缩态减光子获得薛定谔猫态[16−24].2004年,法国Grangier研究组在实验上通过减光子方案将压缩光场转换到非高斯光场[21].2006年,丹麦Polzik研究组制备了852 nm薛定谔猫态,猫态幅度α=1.3,保真度为53%[16].2007年,日本Furusawa研究组获得了860 nm的薛定谔猫态[19],经过不断优化,2017年他们将制备猫态的保真度提高到78%[22],其中猫态幅度|α|2=1.02.2014年,法国Laurat研究组制备了1064 nm的薛定谔猫态,猫态幅度|α|2≈1,保真度为65%[23].理想情况下,具有一定压缩度的真空压缩纯态通过分束器减掉一个光子,其输出态与猫态有很高的保真度[18,25].然而在猫态制备过程中,实验条件的不完美将会对猫态质量产生影响.

Suzuki等[18]研究了减光子方案中W(0)与压缩光场的压缩度和阈值单光子探测器的探测效率及暗计数的关系,Kim等[17]研究了W(0)与压缩光场的压缩纯度、压缩度和平衡零拍探测损耗的关系.在此基础上,我们综合考虑了压缩态的压缩度和纯度、阈值单光子探测器的效率和暗计数以及平衡零拍探测的损耗等因素,系统地研究了实验参数对猫态制备的影响.理想情况下通过减光子方案制备到的薛定谔猫态为奇光子数态,其Wigner函数在相空间原点呈现出负值,而保真度可以度量制备态与理想猫态的相似程度.本文通过相空间特征函数的方法建立了压缩态减光子理论模型,得到了制备态的Wigner函数、相空间原点值W(0)以及与理想猫态保真度的解析表达式,对W(0)值及保真度随各个实验参数的变化关系进行了计算和分析,为制备高质量的猫态提供了理论指导.

2 真空压缩场减光子制备薛定谔猫态的理论模型

利用真空压缩减光子获得薛定谔猫态的原理如图1所示.真空压缩态输入到分束器BS1(透过率为一部分光场被反射进入单光子探测器,当单光子探测器探测到一个光子时,从BS1透射的光场被制备到减光子压缩态,这个态在一定条件下与薛定谔猫态有很高的保真度.真空压缩态(s代表压缩度)的Weyl特征函数为

其中A与B分别为光场压缩和反压缩分量的噪声起伏方差,ξr与ξi分别为特征参数ξ的实部和虚部.压缩态的纯度[26,27]与噪声起伏方差A和B直接相关,在实验上经常用压缩度s和反压缩度s′来描述光场的噪声特性,压缩度(反压缩度)与压缩噪声起伏方差(反压缩噪声起伏方差)之间的关系为s=10logA(s′=10logB).

图1 真空压缩减光子制备猫态的原理图 BS1-2,分束器;HBS,50/50分束器;SPD,单光子探测器;|s〉1,真空压缩态;|0〉2—|0〉L,真空态;BHD,平衡零拍探测Fig.1 .Principle diagram of generation of Cat State by subtracting photons from the vacuum squeezed state.BS1-2,beam splitter;HBS,50:50 beam splitter;SPD,single photon detector;|s〉1,vacuum squeezed state;|0〉2–|0〉L,vacuum state;BHD,balanced homodyne detector.

经过分束器BS1后输出态的Weyl特征函数为[28]

n1=TA+R,n2=TB+R,c1=Tr(A−1),c2=Tr(B−1),m1=RA+T,m2=RB+T.经过分束器BS1后输出态的密度算符可表示为

将Weyl特征函数经过傅里叶变换可得到Wigner函数:

计算可得:

接下来计算了制备态与理想猫态之间的保真度.两个量子态之间的保真度可以表示为[17]

其中C|cat−〉(ζ)为猫态

的Weyl特征函数,

N−=α为猫态的幅度(计算过程中取α为实数).理想情况下,减光子压缩态与猫态的保真度

其中χ为压缩参数[17].对于给定的压缩参数χ,对保真度求导且令导数为0,可求得制备猫态的最优化等效幅度

压缩度s和压缩参数χ均用来表示光场的压缩噪声,它们之间的关系为e−2χ=10s/10.将(5)式和(9)式代入(8)式求得保真度的表达式为

利用(7)式和(10)式,分别计算了W(0)值和保真度随压缩纯度µ的变化曲线,如图2(a)和图2(b)所示,其中BS1透过率取为95%. 黑实线、红点线和蓝点划线的压缩度分别为−3,−2和−1 dB,对应的压缩噪声起伏方差分别为0.5,0.63和0.79,保真度计算中对应猫态的最优化幅度α分别为1.06,0.85和0.597.图2(a)中灰色的虚线表示W(0)=0,从图中可以看出压缩度越大,W(0)<0对压缩纯度的要求越低.当压缩度s=−1 dB时,压缩纯度需满足µ>70%;当s=−2 dB时,µ>83%.对于给定的压缩度,保真度随压缩纯度的增大而增大.在相同纯度下,大的压缩度对应高的保真度;压缩度增大意味着压缩光场中混入的奇光子数态布居降低,导致减光子后制备态中的偶光子数态布居减小、保真度增大.

图2 W(0)值(a)和保真度(b)随压缩纯度µ的变化,黑实线、红点线和蓝点划线的压缩度分别为−3,−2和−1 dBFig.2 .Dependence of the value of W(0)and the f i delity on the squeezing purity.The squeezing degree are−3 dB(black solid line),−2 dB(red dot line),and−1 dB(blue dot dash line),respectively.

猫态的幅度是量子计算中一个备受关注的指标.我们计算了制备猫态的保真度随幅度的变化,如图3所示,其中BS1透过率取为95%.黑实线、红点线和蓝点划线的压缩纯度分别为1.0,0.9和0.7.当纯度为1时,|α|6 1.2的幅度范围内保真度超过了99%,之后保真度随幅度的增加快速降低.这是因为减光子真空压缩态的光子数分布随光子数增加单调递减,而理想猫态的光子数分布在|α|2附近出现峰值.当纯度不为1时,在小幅度范围内保真度呈增加趋势,我们对其原因进行了分析.非纯态的压缩光场中除了偶光子数态还包含有奇光子数态,对于给定纯度的压缩光场,随着压缩度(对应猫态幅度)增加,其偶光子态布居增大,减光子后制备态中的奇光子数态布居相应增加,与猫态的保真度随之增大.实验中不能取过高的压缩度,只有在合适的压缩度下,制备光场与理想猫态之间才会达到较高的保真度[29].

图3 制备猫态的保真度随幅度α的变化,黑实线、红点线和蓝点划线的压缩纯度分别为1.0,0.9和0.7Fig.3 .The f i delity of prepared cat state as a function of amplitude α.The squeezing purity are 1.0(black solid line),0.9(red dot line)and 0.7(blue dash dot line),respectively.

3 单光子探测器的不完美对薛定谔猫态制备的影响

目前商用的单光子探测器绝大部分不能区分光子数,量子效率ηapd较低,并且有一定的暗计数.这种探测器为阈值探测器,当一个或多个光子到达探测器被探测到,探测器即被触发处于“on”状态.阈值单光子探测器“of f”状态的投影算符为

其中ηapd为单光子探测器的量子效率,ν为单光子探测器的暗计数.阈值单光子探测器“on”状态的投影算符为

当阈值单光子探测器处于“on”状态时,BS1透射场的密度矩阵为

其中N1为归一化因子.对应的Weyl特征函数为

将(12)式经过傅里叶变换即可得到对应的Wigner函数:

其中,

下面计算BS1反射端的光子数分布概率.分束器BS1的反射端的密度算符为其中Cout(0,ξ)为反射光场的Weyl特征函数.BS1反射端的光子数分布概率可表示为

当输入真空压缩态的压缩度为−3 dB,纯度为1,BS1的透射率为0.95的情况下,BS1反射光路上出现光子态的概率分别为0.99396,0.00583,2×10−4,3.2×10−6.从上面的结果可以看出:光子数态出现的概率随着光子数的增加而递减,态出现的概率比态降低了两个量级,本文计算过程当中忽略了n>2的光子数态,BS1透射光场的Wigner函数为

其中,

图4 W(0)值(a)和保真度(b)随单光子探测器量子效率ηapd的变化,黑实线、红点线和蓝点划线的压缩纯度分别为1.0,0.9和0.7Fig.4 .Dependence of the value of W(0)(a)and f i delity(b)on the quantum efficiency of single-photon detector ηapd.The squeezing purity are 1.0(black solid line),0.9(red dot line),and 0.7(blue dot dash line),respectively.

图5 W(0)值(a)和保真度(b)随暗计数ν的变化,黑实线、红点线和蓝点划线的压缩纯度分别为1.0,0.9和0.7Fig.5 .The value of W(0)(a)and the f i delity(b)as a function of the dark count rate ν.The squeezing purity are 1.0(black solid line),0.9(red dot line),and 0.7(blue dot dash line),respectively.

单光子探测器的暗计数也是影响猫态制备的一个主要因素,由于暗计数的出现,使制备态中混入了真空压缩态,W(0)值负性减小、保真度降低.图5(a)和图5(b)分别是W(0)和保真度随单光子探测器暗计数的变化曲线.计算中输入真空压缩的压缩度取为−3 dB,BS1透过率取为95%,单光子探测器的量子效率取为70%(目前实验室使用的800 nm商用单光子探测器的量子效率可以达到这个水平).由图可知,随着暗计数增大,W(0)值的负性和保真度都逐渐减小.从图5(a)可以看出,压缩纯度越小,W(0)<0对暗计数ν的要求越高.当压缩纯度µ=1时,W(0)<0要求暗计数ν<4×10−3;当µ=0.7时,W(0)<0要求ν<1.5×10−3.这是因为暗计数的出现相当于在制备态中增加了|0〉态布居,使W(0)值负性减小;而高纯度压缩光场减光子后制备态中混入的偶光子态布居少、W(0)值负性大,所以W(0)<0对暗计数有较好的容忍度.从图5(b)可知压缩纯度越高,保真度随暗计数的变化越敏感;因为在相同的压缩度下,纯度越高压缩光场中包含多光子态的成分越少,致使单光子探测器产生较少的错误计数率(探测到多光子的概率),所以保真度对暗计数的变化敏感.暗计数是在没有光场输入的情况下探测器产生的计数噪声,而杂散光场产生的计数噪声会对猫态的制备产生同样的影响.在实验上可以从这方面入手对制备的猫态进行优化,不仅要选择暗计数低的单光子探测器,同时还要阻挡杂散光场进入单光子探测器.

4 平衡零拍探测器的不完美对制备薛定谔猫态的影响

实验中需要用到平衡零拍探测器(BHD)对制备猫态的正交分量进行测量,BHD不可避免地会引入损耗.一个不完美的平衡零拍探测系统等价于一个无损耗的平衡零拍探测器前加入一个分束器,图1中BS2即是BHD损耗等效的分束器.分束器BS2的透过率相当于平衡零拍探测系统的总效率η,η = ηbγ2λ,其中ηb为平衡零拍探测器的量子效率,γ为平衡零拍探测系统中信号光与本振光的干涉对比度,λ为光路传输效率.在这种情况下,真空压缩态减光子后测量得到的薛定谔猫态的Wigner函数形式就要发生一些变化.

经过BS2后,透射光场的特征函数为

可计算求得保真度.

图6(a)和图6(b)分别是W(0)值和保真度随平衡零拍探测效率η的变化曲线,黑实线、红点线和蓝点划线对应的压缩纯度分别为1.0,0.9,0.7.计算中输入真空压缩的压缩度取为−3 dB,BS1透过率取为95%,单光子探测器暗计数为ν=10−4,单光子探测器的量子效率取为70%.由图可知,压缩纯度越低,W(0)<0对平衡零拍量子效率的要求越高.当压缩纯度为1.0和0.9时,在η>0.60计算范围内,都满足W(0)<0.当压缩纯度为0.7时,要使W(0)<0,必须满足η>0.87.平衡零拍探测器效率的不完美降低了制备猫态的保真度,压缩纯度越低,保真度对效率η越不敏感.只有同时满足高压缩纯度和高探测效率,才能实现高保真度.

最后我们计算了几种实验条件下制备猫态的保真度,并模拟了对应的Wigner函数.计算过程中,真空压缩的压缩度取为−3 dB,对应猫态的最优化幅度为1.06,BS1透过率为95%,单光子探测器量子效率取为70%.当平衡零拍探测量子效率取为92%(其中光路传输效率为99%,信号光与本振光的干涉对比度为99%,平衡零拍探测器量子效率为95%),暗计数为10−4,压缩纯度为90%(对应反压缩度为3.92 dB)时,对应的Wigner函数如图7(a)所示,W(0)=−0.147,保真度为0.6.压缩纯度是猫态制备中一个至关重要的参数,纯度越高,制备猫态的保真度越大.当压缩纯度提高到95%(对应反压缩度为3.45 dB)时,重构的Wigner函数如图7(b)所示,W(0)=−0.25,保真度为0.69.理想猫态是奇光子数态,在传输和测量中对损耗非常敏感,另外单光子探测器暗计数会增加制备猫态中的真空成分,降低保真度.通过提高压缩态的纯度和平衡零拍探测系统的效率,以及选用暗计数低的光子探测器,可以进一步提高保真度、降低相空间原点W(0)的值.当压缩态纯度达到0.99(对应反压缩度为3.09 dB),平衡零拍探测效率达到0.98时,暗计数为10−5时,制备猫态的Wigner函数如图7(c)所示,W(0)=−0.49,保真度为0.88.

图6 W(0)值(a)和保真度(b)随平衡零拍探测总效率η的变化,黑实线、红点线和蓝点划线的压缩纯度分别为1.0,0.9和0.7Fig.6 .Dependence of the value of W(0)(a)and f idelity(b)on the total efficiency of the balanced homodyne detection η.The squeezing purity are 1(black solid line),0.9(red dot line)and 0.7(blue dot dash line),respectively.

图7 几种实验条件下制备猫态的Wigner函数Fig.7 .The Wigner function of prepared cat states under several experimental conditions.

5 结 论

本文理论分析了实验条件不完美对薛定谔猫态制备的影响.通过相空间特征函数建立了减光子方法制备猫态的理论模型,分析了真空压缩态的压缩度和纯度、阈值单光子探测器的量子效率和暗计数以及平衡零拍探测损耗等诸多因素对制备猫态Wigner函数和保真度的影响.结果表明:压缩度越大,W(0)<0对压缩纯度的要求越低;在压缩纯度小于1的情况下,存在最佳压缩度使制备态与猫态保真度最大;低效率的阈值单光子探测器和平衡零拍探测损耗会进一步降低制备猫态的保真度.当真空压缩的压缩度为−3 dB压缩纯度达到0.99平衡零拍探测效率达到0.98时,利用商用阈值单光子探测器,制备猫态保真度为0.88.这个工作为薛定谔猫态的制备以及实验参数优化提供了理论指导.