孙建安,李烈娟,李晓霖,杨雪滢,石玉仁

(西北师范大学物理与电子工程学院,甘肃兰州 730070)

0 前言

近年来,对脉冲波在颗粒系统中传播的研究引起了越来越多学者的关注[1-7].当脉冲作用施加在颗粒链上时,可以形成脉冲波,同时表现出如声真空[8-9]、呼吸子[10-11]和整流效应[12-13]等独特现象.1984年,Nesterenko首次研究表明在无预压缩情况下,颗粒链边缘脉冲的传播会形成孤立波[7],其可在较长距离内保持稳定传播,并且集中了波的大部分能量.这种孤波的特性在后续研究中得到了证实[14-15].由于这些特性的存在,使得颗粒链被用于研究许多相干结构,例如行波和分散冲击波[16-19].研究发现,颗粒链中存在一种新型孤立波,在没有初始预应力时,它与众所周知的弱非线性 Kortewegde Vries(简称KdV)孤立波有着本质区别[20].声波无法在该系统中传播,许多学者基于数值模拟或实验分析研究了这些波的特性[16-19].另一方面,在颗粒链中也发现了具有初始预应力的KdV孤立波.对一维颗粒链中脉冲传播的研究具有重要意义,也有利于对二维和三维颗粒系统的深入认识.

作为颗粒系统最基本的模型,一维颗粒链不仅是研究非线性动力学的典型系统,也是理论、模拟和实验研究的试验平台.Hong等考虑了重力作用,发现孤子振幅随时间呈指数式衰减[7].Lindenberg等[21-22]研究了锥形颗粒链中孤立波的传播特性,发现颗粒质量空间位置分布的差异会导致孤波传播特性的不同.然而,对于孤立波在一维带电颗粒链中的传播却未见报道.考虑将质量相同的球形带电颗粒排成一维带电颗粒链,文中采用数值方法系统研究了孤立波在该颗粒链中的传播特性.研究发现,当其它物理参量不变时,较大的带电量将会致使孤立波的振幅变大.同时,文中也研究了颗粒材料的其它参数对孤立波振幅的影响.

1 模型介绍

考虑由N个粒度相同、密度相同的球形带电颗粒(所有颗粒具有相同的泊松比σ、密度ρ及其它物理参量),约束在聚四氟乙烯管中,水平放置形成一维带电颗粒链,如图1所示.第1个颗粒固定或在外力驱动下作简谐振动;最后一个(即第N个)颗粒固定.

图1 一维带电颗粒链示意图

库仑力和阻尼力都考虑时,第i个颗粒的动力学方程为[6]

若第1个颗粒在外力驱动下沿水平方向作简谐振动,则其运动方程可写为

u1(t)=Asinωt,v1(t)=Aωcosωt,(2)

其中A和ω分别表示驱动的振幅和频率.但若第1个颗粒固定,则其运动方程为

u1(t)=0,v1(t)=0,(3)

最右端第N个颗粒始终固定,所以其运动方程为

vN(t)=0.(4)

颗粒带电时两颗粒之间存在长程相互作用的库仑力.即使两颗粒不接触,该力也存在.与不带电情形相比,颗粒链中会出现更为复杂的非线性现象.为寻找和研究该系统中存在的孤立波,可用后述方法数值寻找该系统的平衡态.将N个带电颗粒如图1所示在水平方向均匀放置,初始时刻(t=0)任意相邻颗粒刚好接触但无压缩;第1个和第N个颗粒固定.记第1个颗粒的中心位置为u1=0,则该时刻第i个颗粒的中心位置为

这种配置下,一般无法保证每个颗粒均处于平衡位置.初始速度vi(0)可任意选取(合理即可),计算时取

以上述条件作为初始条件,对系统进行动力学演化.足够长时间后,由于阻尼的存在,系统会趋于平衡状态.计算时若每个颗粒的速率均小于精度要求ε,即可视为系统达到了平衡态,这里ε为一个小量,计算时取ε=10-8m·s-1,β=0.5 kg·s-1.数值计算采用如下格式

其中,Δt为时间步长;Fi(t)为t时刻第i个颗粒所受总合力.

2 结果与讨论

前面讨论的平衡态视为此时t=0的初始状态.为研究孤立波的传播,改变第1个颗粒使其在外力驱动下作简谐振动,第N个颗粒仍固定.我们发现在该系统中存在稳定传播的孤立波.对方程(1)进行数值模拟时,取N=400,颗粒的泊松比σ=0.3,半径R=0.004 m,ω=1×105rad·s-1,A=2.5×10-4m,Δt=1.0×10-7s,数值方法仍采用(7)式.

图2 不同颗粒材料下孤立波在一维带电颗粒链中的传播

图3 不同带电量Q时随时间t的变化

图4 不同阻尼系数时孤立波振幅衰减率γ随颗粒带电量Q的变化

图5 不同杨氏模量时随时间t的变化

图6 不同阻尼系数时孤立波振幅衰减率γ随杨氏模量E的变化

当E<8×1010Pa时,衰减率随E的增大而逐渐增大;当E>8×1010Pa时,衰减率随E的增大而逐渐减小.当E足够大时,衰减率趋于一定值.

3 结束语

建立了一维带电颗粒链非线性动力学模型,并数值研究了孤立波在该系统中的传播特性.数值结果表明:颗粒带电量越大,所激发出的孤立波振幅越大;颗粒材料的杨氏模量越大,产生的孤波振幅也越大.但在阻尼力作用下,孤立波振幅随时间呈指数式衰减.而且,阻尼系数越大,孤立波振幅衰减越快.颗粒带电量及阻尼系数对衰减率具有明显影响,但杨氏模量的影响相对较小.