蒋红珠 刘成龙

研究性学习是指学生在教师的指导下，学生围绕某个数学问题，用类似科学研究的方式，自主探究、学习的过程，这个过程包括：观察分析数学事实，提出有意义的数学问题，猜测、探究适当的数学结论或规律，给出解释或证明，研究性学习的一般步骤是：提出问题——研究的起点;解决问题——研究性学习的重点;背景揭示——研究性学习的亮点;推广问题——研究性学习的难点;成果应用——研究性学习的升华点，文中对一个向量最值问题展开研究性学习，以此作为研究性学习的一个案例。

1问题提出——研究性学习的起点

希尔伯特指出：“数学问题是数学的灵魂，”依此类推，数学问题是研究性学习的灵魂，数学问题是研究性学习的起点，好的数学问题引领研究活动的顺利开展，伴随整个研究性活动。《普通高中数学课程标准（实验）》（下文简称《课标》）指出：“数学探究课题的选择是完成探究学习的关键，课题的选择要有助于学生对数学的理解，有助于学生体验数学研究的过程，有助于学生形成发现、探究问题的意识，有助于鼓励学生发挥自己的想像力和创造性，”具体来讲，一个适宜研究性学习的问题至少包含以下几个方面：

（1）问题真实，源于学生实际;

（2）问题难度适中，经过学生“跳一跳”能解决;

（3）问题背景深刻、内涵丰富;

（4）解答视角宽，便于学生从不同角度探究;

（5）问题可变性强，宜于推广和变式;

（6）问题与其它数学内容融合度大。

据此，如下问题可以认为是研究性学习的良好素材：

2问题解决——研究性学习的重点

从心理学角度来看，问题解决是指为了从问题的初始状态到达目标状态，而采取一系列具有目标指向性的认知操作的过程。从系统论来看，一个问题就是一个相对独立的系统，对系统的处理（问题解决）就是把系统中的一个个零散的信息按照一定的顺序串在一起，形成一个有机整体，从数学的角度来看，问题解决指消除已知条件和求解目标间差异的过程，这一过程一般包括：理解问题、提出假设、检验假设，波利亚在其巨著《怎样解题》中指出问题解决包括：弄清题意、拟定计划、执行计划和回顾，[1]研究性学习中，问题解决需要在教师的组织下，让学生“行动”起来：通过查阅资料、独立思考，在生生互动、师生互动中达成问题解决的“共识”——研究的初级成果，在问题解决中，教师组织学生完成三项活动： （1）成果展示; （2）点评; （3）反思。

2.1成果展示

学生成果重在方法梳理和思路分析，并通过成果展示增加成功体验和自我效能感，问题的成果展示（此处仅展示整理后解题方法）如下：

视角1 解析法

方法1 配方法

方法2 函数法

视角2 向量法

视角3 三角代换法

视角4 有界法

视角5 数形结合法

2.2点评

点评即分析、赏析，包括学生自评、互评及教师点评，在这一过程中，需要对好的做法进行分享，需要指出研究中存在的问题，最终实现在评价中达成“共识”，本案例解决中，教师要引导学生积极参与对方法1～5异同的认识、优劣的认识、本质的认识，对哪些方法是通性通法、哪些技巧性过强展开讨论，厘清方法中蕴含思想方法，以及分析方法形成中学生所犯错误等等。

2.3反思

在心理学上，反思属于元认知概念的范畴，反思即元认知，是人们以自己的认知活动过程及结果为认识对象的认识活动。在问题解决后，教师需要引导学生进行反思，一般地，反思的视角有：从多样的解法中能否找到问题的本质？问题隐含的数学背景是什么呢？问题能否进行推广？问题能否进行优化？等等，关于问题的“背景、怎样推广、如何应用”将在下文给出。

3背景揭示——研究性学习的亮点

背景指试题的背景，即编制的试题中直接或者间接含有的一些基本知识、基本问题、基本思想和基本方法等，则称这些基本知识、问题、思想和方法等为这些试题的数学背景，背景揭示有利于认识问题的原型，有利于寻求与问题匹配的优美解，有利于揭示思路分析的合理性，有利于培养建立原型认知能力，文中研究的问题含有深刻的数学背景一外森比克不等式。

3.1背景揭示

点评 外森比克不等式是经典的数学模型，刻画了三边与面积间的不等关系，在形式上具有简洁美、对称美、和谐美，同时，它是很多经典数学问题的生长点，不难看出，案例中的问题基于外森比克不等式编制而成：题干中的AB2 +AC2 -AB

，AC实质上是外森比克不等式的另一种表征形式（下文优美解法处说明）。

3.2优美解法

“你能用不同的方式推导这个结果吗？你能一眼就看出它来吗？”[1]华罗庚教授对问题的解决提出了精辟的论述：“复杂的問题要善于‘退，足够地‘退，退到最原始而不失重要性的地方”，“原始而不失重要性的地方”就是我们常常说的本质，基于问题背景，引导学生从问题的本质得到优秀的解答方法：

基于此，可以对问题进行不同角度拓展——问题变式。

4 问题变式——研究性学习的难点

问题变式是研究性学习的难点，问题变式是指相对于某种范式，不断变更问题情境或改变思维角度，使问题的非本质属性时隐时现，而问题的本质属性保持不变的变化方式，布鲁纳从心理学的角度指出：“早期的多样化训练，是产生理智行为的条件之一，除非学生经历某些变化，否则难以形成一般编码，”在布鲁纳看来，一般性编码就是较高层次的规则，而这无疑是我们通常意义上的程序性知识，或称技能，要形成一般性编码就要进行变式练习，陈景润先生指出“题有千变，贵在有根，”研究性学习中问题是变式的原型，是变式的根，在研究性学习中，教师要不断地变更数学问题中的情景或改变思维的角度，变换问题中的条件或结论，转换问题的形式或内容，配置各种实际应用的环境等，以期暴露问题的本质特征或内在练习的教学方法。[2]特别指出，试题变式中“更应该强调变式的共同本质：“变化中求不变”、“求变以突出其中不变的因素，”[3]因此，教师通过变换问题中“元素状态”、“构造原件”、“关联结构”等，引导学生获得问题的一系列变式。

4.1变“元素状态”

4.2变“构造原件”

4.3变“关联结构”

点评 变式1-6层层递进，逐步深入，变式中变的有：原件状态、构造原件以及关联结构;不变的有：问题呈现形式或解答方法，在此环节，教师应组织学生讨论：变式中那些量发生变化、哪些量没有变化，没有变化的量在变式中起什么作用。以次让学生充分体验数学变式的一般方法：由一個问题变成一类问题，由一小类问题变成一大类问题，最终让学生在变与不变过程中，形成良好的认知结构。

感受问题的众多变式后，自然会想到一个研究性学习的关键环节——成果应用。

5 成果应用——研究性学习的升华点

《课标》的第五条基本理念：“发展学生的数学应用意识”，《课标》明确指出“数学是人们生活、劳动和学习比不可少的工具，在数学教学中要发展学生的数学应用意识”，提倡“应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其它学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学的应用意识，提高实践能力”，不难看出，培养学生的应用意识是数学课程的重要目标和学习数学的主要任务之一，研究性学习既要重视学生在学习过程中获得的成果（知识的获取、方法的形成、思维的发展），又要注重学习成果的应用，经历四个环节后，学生对问题本身有了深入的理解，此时还需要对成果加以应用。

5.1应用问题的解决方法直接处理新问题

5.2编拟新问题

限于篇幅，以上三个新问题的求解予以略去，读者可以自行探究解决。

点评 学以致用是数学学习的基本要求，也是研究性学习的关键点，很自然要问：用什么？怎么用？先回答用什么的问题：用已有的方法、思想、模型等等，在问题1、2的解答中用到了问题解决环节的方法;在新问题的命制中主要基于外森比克不等式这一数学模型，怎么用涉及5个层次：记、仿、变、悟、创，即识记、简单模仿、变式运用、自发感悟、创新创造，教师在应用环节应发展学生从记、仿变中逐步走向悟、走向创造的能力，感受解决数学问题的一般方法：由解决一个问题到解决一类问题，由解决一小类问题上升到解决一大类问题。

后记

研究性学习是当前最为重要的学习方式之一，研究性学习包含了自主学习、合作学习等重要学习的方式，我们认为研究性学习的目标是：让学生在经历类似科学研究的过程中，体验科学探究之历程，培养良好的思维品质;让学生在研究中大胆交流，在交流中形成“共识”;营造争鸣的氛围，让学生在争鸣的环境中迸发出智慧的光芒，最后指出，研究性学习需要注意以下几个问题：研究问题的选取、教师的作用、学生的主体地位、评价的方式和成果的展现。

参考文献

[1]波利亚.怎样解题[M].涂泓，冯承天译上海：上海科技教育出版社，2007

[2]郑毓信.考试高压下的中国数学教育：现状与对策[J].数学通报，2007（10）：23-26

[3]江志杰，基于数学解题变式的高三教学主张[J].中学数学教学，2013（11：54-58