刘丽云

式子是数学题的灵魂，其种类也很多，如函数关系式、方程式、不等式等等.我们拿到一个题目有时会束手无策，最主要的原因是对题目中的式子不会处理.用什么工具、手段来处理这些式子，挖掘出这些式子的表象和潜在的特点以及已知与未知的联系，是我们审题的重点，也是解决这道题的关键.

研究一个式子，尤其是陌生的、复杂的式子，我们通常的思维方式是从特殊到一般.可先取一些特殊值、特殊情况、特殊例子进行研究，再推广到一般.

一、特值工具，化一般为特殊

例1 若函数f（x）=k-2'/1+k2'是定义域上的奇函数，则k的取值范围为

分析 本题中，f（x）是奇函数，即f（-x）=-f（x）對定义域内每一个x都成立，而f（-x）=-f（x）恒成立用一般式较复杂，并且本题是个填空题，求一个未知数k仅需一个方程，故可以取特殊值.而取的特殊值必须保证在定义域内，我们可观察到f（x）的定义域可能是R或者{x|x∈R且x≠0}，因此我们不能取特殊值f（0）=0，因为x=O不一定在定义域内.可选其他特殊值，如取x=l得f（-1）=-f（l），得k=±1后再检验.

有些式子可直接用“特殊值法”这个工具来处理，有些虽然不能直接使用特殊值法，但也可先取一些特殊值认识式子的实质和内在关系，并可通过特值再类比到一般.

例2

若f（x）满足f（x）+2f（-x）=3x，则f（x）=___.

分析 此题不能通过特殊值来直接求出f（x），但我们可以先思考如何求f（2）.令x=2可得f（2）+2f（-2） =6，这个式子中f（2）与f（- 2）均是未知的，即可看成两个未知数，仅这一个方程无法解两个未知数，必须再找一个关于f（2）与f（-2）的方程，故再令x=-2可得f（-2）+2f（2）=-6，就可求出f（2）.通过用特殊值法求、f（2）的过程可类比求f（x）.f（x）+2f（-x）=3x中有两个未知数，用-x代式子中的x，可得f（-x）+ 2f（x）=-3x，解方程组即得f（x）.

二、图形工具，化抽象为具体

对于一些式子我们无从下手，多数原因是式子对我们来说是陌生和抽象的.我们思维往往是直观易理解而抽象难接受，因此处理一个抽象的式子时的第一反应是将其直观化，而直观化最常用的T具是图形.

先看个例子：

例3 已知方程√4x-x2-3=kx有实数根，求实数k的取值范围，

分析 仔细观察方程，左边是个无理式，右边是最高为一次的式子，这两个式子构成的方程是无理方程，较为复杂.而复杂的原因是无理式和一次式混合在一起，因此要想解题简单，必须将无理式和一次式分开，于是我们可以考虑将方程有解等价转化

方程的解转化为函数图象的交点问题是我们处理方程解的问题的常用手法，即用图形这个工具来研究方程、不等式问题，而方程转化成什么样的函数，也是解决这类问题成败和简单与否的关键.说明图形工具是处理式子时化抽象为直观的常用方法，而具体转化成什么函数则需要我们不断地摸索和积累经验.

三、导数工具，化复杂为简单

高中的数学学习是抽象思维的学习，我们不可能将所有式子全部用特值工具和图形工具来处理，也需要考虑抽象工具.而研究式子抽象的工具很多，如作差、作商、平方、取对数、换元等等，导数是其中最常用也是最有力的工具.函数的导数可研究函数的单调性、极值点、图象、切线等问题，因此导数是研究函数的一个非常重要的工具.如：解不等式sin x> x.此题若用上面的特值和图象这两工具都较难说明，但我们可以将其变形成x- sinx<0，再利用函数f（x）=xsinx，的导数f'（x）=1-cosx≥0，判断出f（x）是R上的增函数，结合、f（O） =O，得出x<0，非常简单自然，利用导数工具可以非常高效地来研究函数式，代数式、不等式、方程式都可转化为函数式，选择什么样的函数式也至关重要.

我们研究式子的工具有很多，以上三种是最常用的工具，特值工具、图形工具是将抽象式子特殊化和直观化的工具，导数工具是处理较复杂式子的有力武器.选择何种恰当的工具，这需要我们对式子多分析思考、多总结归纳，并对这些研究式子的常用工具了如指掌，才能做到对解题游刃有余.