一个包含数论函数φ(n)的方程的可解性

2018-11-19张四保官春梅席小忠

安徽大学学报（自然科学版） 2018年6期

关键词：数论宜春素数

张四保，官春梅，席小忠

(1.喀什大学数学与统计学院,新疆喀什 844008；2.宜春学院数学与计算机科学学院，江西宜春 336000)

方程整数解的讨论是数论中的一个重要的研究内容，对这一研究内容有不少人进行过探讨[1-2]. Euler函数φ(n)是一重要的数论函数，有不少文献讨论过涉及φ(n)的方程的解问题[3-12].

笔者将讨论一个包含数论函数φ(n)的方程

φ(x-φ(φ(x)))=6

(1)

的解问题，利用初等数学的方法确定了该方程的一切解.

1 主要结果及证明

定理1方程(1)只有解x=9，11，13，17，22.

证明由文[11]的结论可知，方程φ(x)=6只有4个解x=7,9,14,18，由(1)式有

x-φ(φ(x))=7,9,14,18.

因而x≥8，φ(φ(x))必为偶数.

情况1.1.1α1=1.

当βj=0(j=1,2,…,t)时，P1-1=2m，从而有2m-φ(2m)=6,8，因而有m=4，此时P1=17，则(1)有解x=17.

当βj(j=1,…,t)中至少有一个βj≠0时，有

或

当

时无解.当

时，有q1=5，β1=1，βj=0，j=2,…,t，从而P1-1=2×5=10，则(1)式有解x=11.

此时有t=1，β1=1，q1=7，从而P1=15，而15不是素数，则此时(1)式无解.

或

当

时无解.当

时，有m=2，q1=3，β1=1，βj=0，j=2,…,t，从而P1-1=22×3=12，此时(1)式有解x=13.

情况1.1.2α1≥2.

情况1.2α1≠0，α2≠0，αi=0，i=3,…,k. 此时，有

情况1.2.1α1=1，α2=1.

此时，有P1P2-φ((P1-1)(P2-1))=7,9.由于P1，P2为互异奇素数，从而有

P1P2-φ((P1-1)(P2-1))=(P1-1)(P2-1)-φ((P1-1)(P2-1))+P1+P2-1>8.

因而，当P1P2-φ((P1-1)(P2-1))=7时，(1)式无解.再讨论P1P2-φ((P1-1)(P2-1))=9的情况.由于P1，P2为互异奇素数，则P1，P2可分为2种情况：1)P1=3，P2≥5；2)P1≥5，P2≥7. 当P1=3，P2=5时，P1P2-φ((P1-1)(P2-1))=9不成立.

当P1=3，P2>5时，有

P1P2-φ((P1-1)(P2-1))=(P1-1)(P2-1)-φ((P1-1)(P2-1))+P1+P2-1>10.

当P1≥5，P2≥7时，有

P1P2-φ((P1-1)(P2-1))=(P1-1)(P2-1)-φ((P1-1)(P2-1))+P1+P2-1>12.

由此可知，当P1P2-φ((P1-1)(P2-1))=9时，(1)式无解.

情况1.2.2当α1≥2与α2≥2中至少有1个成立.效仿情况1.2.1的讨论，此时(1)式无解.

情况1.3当αi≠0，i≥3时,效仿情况1.2.1的讨论，此时(1)式无解.

情况2.1t=1.

(1)α1=1.

此时，有2P1-φ(P1-1)=14,18,因而P1≥11.当P1=11时，2P1-φ(P1-1)=18成立，则(1)式有解x=2×11=22；当P1=13时，2P1-φ(P1-1)=14,18均不成立；由于2P1-φ(P1-1)=(P1-1)-φ(P1-1)+P1+1，由当n≥2是整数，φ(n)18，即此时2P1-φ(P1-1)=14,18不可能成立.从而,当α1=1时，(1)式只有解x=2×11=22.

(2)α1≥2.

情况2.1.2α1≠0，α2≠0，αi=0，i=3,…,k.

(1)α1=1，α2=1.此时，有2P1P2-φ((P1-1)(P2-1))=14,18.

由于

2P1P2-φ((P1-1)(P2-1))=

2(P1-1)(P2-1)-φ((P1-1)(P2-1))+2P1+2P2-2=

(P1-1)(P2-1)-φ((P1-1)(P2-1))+2P1+2P2-2+(P1-1)(P2-1)>22，

则此时(1)式无解.可推知当αi(i=1,2,…,k)中满足αi≥1的个数j≥3时，(1)式无解.

(2)α1=1，α2≥2.此时，有

由于

4P2+2>(P1-1)(P2-1)2+2P1(2P2-1)+2P2(P2-2)+2>150，

则此时(1)式无解.可推知当α1≥2与α2≥2中至少有1个成立时，(1)式无解.

情况2.2t=2.

(1)α1=1.

此时，有22P1-φ(2(P1-1))=14,18.因而此时P1≥5.当P1=5时，22P1-φ(2(P1-1))=14,18均不成立；当P1=7时，22P1-φ(2(P1-1))=14,18也均不成立；由于当P1≥11时，22P1-φ(2(P1-1))=2(P1-1)-φ(2(P1-1))+2(P1-1)+4>24，即此时22P1-φ(2(P1-1))=14,18不可能成立，则此时(1)式无解.

(2)α1≥2.

(P1-1)[2(P1-1)]-(P1-1)φ(2(P1-1))+(P1-1)[2(P1-1)]+8P1-4>28，

情况2.2.2α1≠0，α2≠0，αi=0，i=3,…,k.

(1)α1=1，α2=1.

此时，有4P1P2-φ(2(P1-1)(P2-1))=14,18.由于

4P1P2-φ(2(P1-1)(P2-1))=2(P1-1)(P2-1)-φ(2(P1-1)(P2-1))+

2(P1-1)(P2-1)+4(P1+P2-1)>2(P1-1)(P2-1)+4(P1+P2-1)>44，

则此时(1)式无解.可推知当αi(i=1,2,…,k)中满足αi≥1的个数j≥3时，(1)式无解.

(2)α1=1，α2≥2.

(P2-1)[2(P1-1)(P2-1)]-(P2-1)φ(2(P1-1)(P2-1))+

则此时(1)式无解.可推知当α1≥2与α2≥2中至少有1个成立时，(1)式无解.

情况2.3t=3.

情况2.3.1α1≠0，αi=0，i=2,…,k.此时，有

(1)α1=1.

此时，有23P1-φ(4(P1-1))=14,18.当P1=3时，23P1-φ(4(P1-1))=14,18均不成立.由于23P1-φ(4(P1-1))=4(P1-1)-φ(4(P1-1))+4(P1+1)>4(P1+1)，因而当P1≥5时，23P1-φ(4(P1-1))>24，从而23P1-φ(4(P1-1))=14,18也均不成立，则此时(1)式无解.