冷诗扬, 杨双羚

(1. 吉林大学 数学学院, 长春 130012； 2. 吉林建筑大学城建学院 基础科学部, 长春 130114)

0 引 言

关于非线性微分方程组可积性与不可积性的研究是常微分方程定性理论的核心问题之一. 对于一个给定系统, 如果能找到足够多的首次积分, 则很容易得到其通解, 该系统便是可积的. 利用k个函数独立的首次积分可将n维系统简化为(n-k)维, 进而研究所考虑动力系统的拓扑结构. 例如, 如果一个自由度为n的Hamilton系统在Liouville意义下可积, 即具有n个函数独立且两两对合的首次积分, 则其与首次积分确定的不变集在相空间内同胚于圆环、 圆柱或者平面. 如果系统是不可积的, 则它通常表现出各种混沌现象或其他复杂的动力学行为.

一般很难判断一个系统是否具有首次积分或者是否可积[1-2]. Ziglin[3-4]基于沿积分曲线变分方程(NVE)单值群的性质, 给出了2n维复解析Hamilton系统具有n个函数独立的亚纯首次积分的必要条件, 该结果可用于研究两个自由度Hamilton系统的Liouville不可积性, 例如： Toda晶格Hamilton系统[5]、J2问题[6]和Kepler问题[7]等. Morales-Ruiz等[8]利用微分Galois理论[9]对文献[3-4]的结果进行延伸, 通过取代变分方程的单值群考虑微分Galois群, 得到了非线性Hamilton系统Liouville可积的更强必要条件, 即Morales-Ramis理论[8]. 该理论在数学、 物理、 天文学等领域应用广泛, 其中两个重要结果是平面三体问题[10]和希尔月球问题[11]被证明在Liouville意义下是不可积的. 同时, Morales-Ramis理论也可用于研究非Hamilton系统亚纯首次积分的存在性[12-13].

本文考虑如下具Marta势能的Hamilton系统[14]的Liouville可积性:

(1)

具Marta势能的Hamilton系统与经典的Henon-Heiles Hamilton系统相似, 但与之相比, 系统(1)的对称更少. 文献[14]数值模拟显示, Marta Hamilton系统出现混沌现象, 具有很复杂的动力学行为. 本文从不可积性的角度考虑该系统的拓扑结构.

1 预备知识

首先简要介绍Morales-Ramis理论. 考虑如下复动力系统:

(2)

假设该系统有一个特解φ(t), 在局部坐标t下, 该解的最大解析延拓定义了一个Riemann曲面Γ, 沿着该解的变分方程有如下形式:

(3)

其中TΓM是TM限制在Γ上的切丛. 如果系统是一个2n维的Hamilton系统, 则其变分方程可约化为2(n-1)维的系统, 即法向变分方程为

(4)

由于系统(4)是线性系统, 因此, 可以考虑该系统的微分Galois群. 微分Galois群是作用在系统(4)解上的矩阵群, 并且不改变解的多项式关系[8]. 同时, 它也是线性代数群. 对于2n维的Hamilton系统, 法向变分方程的微分Galois群是Sp(2(m-1),)的子群. 该群中, 包含单位元的最大连通子集, 称为该群的单位连通分支. 在Morales-Ramis理论中, Hamilton系统Liouville可积性的必要条件由单位连通分支的性质给出.

定理1[9]假设复解析Hamilton系统(2)在解曲线Γ的某邻域内是亚纯Liouville可积的, 则沿着该解法向变分方程的微分Galois群的单位连通分支是可交换的.

定理1是研究Hamilton系统不可积性的主要工具. 为了应用定理1, 需要找到系统的一个特解, 计算出沿着该解的法向变分方程, 并研究相应单位连通分支的可交换性. 但计算一个给定线性微分系统的Galois群十分困难. 对于二阶线性微分方程, 文献[15]给出了相应较完整的算法计算其Galois群, 并给出了二阶有理系数线性方程Galois群的分类.

引理1[15]具有理函数系数的二阶约化线性方程

(5)

的微分Galois群是SL(2,)的代数子群, 并且满足如下情形之一：

情形1) G共轭于一个上三角子群；

情形3) G是有限群, 且情形1),2)均不成立；

情形4) G=SL(2,).

引理2[15]引理1中前3种情形成立的必要条件分别是:

情形1)r(z)的每个极点或者阶数是偶数, 或者阶数大于2;r(z)在无穷远点的阶数或者是偶数, 或者大于2;

情形2)r(z)至少有一个极点的阶数是大于2的奇数或者是2;

Kovacic[15]给出了判断线性方程(5)的微分Galois群属于引理1中哪一种情形的完整算法.

2 主要结果

定理2具Marta势能的Hamilton系统(1)在Liouville意义下不是亚纯可积的.

证明： 具Marta势能的Hamilton系统(1)对应的运动方程为

(6)

由于超平面N={(x,y,px,py)|x=px=0}是系统(6)的不变流形, 因此在不变流形N上, 系统(6)可约化为线性Hamilton系统

(7)

易见,

是系统(6)位于流形N上的一个周期解. 沿解曲线Γ的变分方程为

(8)

注意到特解Γ在超平面N上, 由此可得系统(8)的一个子系统, 即沿解曲线Γ的法向变分方程

(9)

方程(9)等价于如下二阶线性微分方程：

(10)

方程(10)可变为

+b(z)ξ1,

(11)

(12)

其中

下面利用Kovacic算法, 证明方程(12)的微分Galois群是SL(2,). 事实上r(z)有两个极点:z=1和z=-1, 阶数都是2,r(z)在无穷远点的阶数是1. 因此由引理2知, 方程(12)的微分Galois群只能是情形2)或者情形4). 记集合E1={2,1,3},E-1={2,1,3},E∞={1}. 则对任意的e1∈E1,e-1∈E-1和e∞∈E∞, 有d∶=e∞-e1-e-1≤1-1-1<0, 表明引理1的情形2)不成立, 因此方程(12)的微分Galois群是SL(2,).

假设Hamilton系统(6)在Liouville意义下是亚纯可积的. 由定理1知, 法向变分方程(9)的微分Galois群的单位连通分支是可交换的. 因此, 方程(11)的微分Galois群的单位连通分支是可交换的, 也是可解群. 另一方面, 方程(12)的微分Galois群与方程(11)的微分Galois群的单位连通分支不一定同构, 但具有相同的可解性. 所以, 方程(12)的微分Galois群的单位连通分支是可解群. 但代数群SL(2,)的单位连通分支是其本身, 并且SL(2,)不是可解群, 矛盾, 假设不成立, 结论得证.