■天津市武清区英华国际学校 王续然

等差数列与等比数列,作为数列的基本类型,一直是高考命题的热点。那么与等差（等比）数列求和有关的问题有哪些呢?下面举例说明。

一、基本量法求和问题

例1 等差数列{an}的前n项和记为Sn,已知a10=30,a20=50。

（1）求通项公式an;

（2）若Sn=242,求n。

解得n=11或n=-22（舍去）。

故n=11。

评注:（1）等差或等比数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d或q,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想。

（2）数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用,而a1和d（q）是等差（比）数列的两个基本量,用它们表示已知量和未知量是常用方法。

二、等差、等比数列前n项和的性质的应用

例2 （1）已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=10,S20=30,则S30=（ ）。

A.40 B.50 C.60 D.70

（2）各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n等于（ ）。

A.80 B.30 C.26 D.16

解析：（1）因为S10,S20-S10,S30-S20成等差数列,且S10=10,S20=30,S20-S10=20,所以S30-30=10+2×10=30,S30=60,选C。

（2）由等比数列性质得,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n成等比数列,则（S2n-Sn）2=Sn·（S3n-S2n）。

所以（S2n-2）2=2×（14-S2n）。

又S2n＞0,解得S2n=6。

又（S3n-S2n）2=（S2n-Sn）（S4n-S3n）,所以（14-6）2=（6-2）（S4n-14）。

解得S4n=30,选B。

评注:（1）等差数列{an}中,公差为d,前k项的和为Sk,则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Smk-S（m-1）k,…构成公差为k2d的等差数列。

（2）等比数列{an}中,公比为q,前m项和为Sm（Sm≠0）,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…,Skm-S（k-1）m,…构成公比为qm的等比数列。

三、与等差、等比数列求和有关的最值问题

（2）利用条件中两项间的关系,寻求数列首项a1与公比q之间的关系,再利用等比数列前n项和公式及所得的关系化简不等式,进而通过估算求得正整数n的取值范围。

由题意得:

（a1q16）2=a1q23,a1q9=1。故a1=q-9。

把a1=q-9代入上式并整理,得:

因为q＞1,所以qn-1＞0。故有qn-18＞q,即qn＞q19,从而n＞19。所求正整数n的取值范围是n≥20,n的最小值为20。

评注:本例中的第一题属等差数列的前n项和问题,依据等差数列求和公式,一般可考察其中间项来确定正负。本例第二题中数列与不等式两方面的知识都用到了,主要体现为用数列知识化简,用不等式知识求得最后的结果。本题还体现了转化思想、方程思想及估算思想的应用。