/许吴山 陈修文

【设计理念】

2018年3月，我有幸参加了第13届江苏省“杏坛杯”苏派青年教师课堂教学展评（南通赛区），上课课题是苏科版九年级上册第一章“一元二次方程”的章节起始课。经过精备、试上、研讨、打磨、上课环节，最终以数学组第一的名次直接晋级。反思这一过程，我认为取胜之处在于“高立意”。本文结合课堂实录，谈谈“高立意”下的章节起始课如何思考、怎样操作，与同行交流。

作为初三章节起始课，本节课的定位就显得格外重要。首先要完成本节课的教学目标——学习一元二次方程的概念；其次要考虑对本章内容的统领作用，为后续学生进一步研究一元二次方程的解法和应用奠定坚实的基础；最后作为初三内容，学生需要对初中学习过的方程有整体的认识，应理清各方程间的联系与区别，形成研究方程的一般性思路和方法。基于以上考虑，我认为本节课的设计是充满挑战的。以下是主要教学环节。

一、情境引入

生活中处处有数学，学校数学兴趣小组进行了一天的观察和记录，老师节选了其中一部分：

（1）教学楼有一块面积为4m2的正方形文化墙。

（2）羽毛球场上正在进行一场比赛，比赛规则：赢一场得2分，输一场得1分，初二（1）班赛了12场后积20分。

（3）跑道上小明、小强正参加100m跑，小强的速度是小明的1.1倍，结果小强成绩比小明快1.2s。

（4）走廊上有一个长5m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端到墙面的距离比梯子的顶端到地面的距离多1m。

（5）图书馆2016年藏书5万册，到了2018年藏书达到了7.2万册，管理员告诉学生16～17，17～18每年藏书平均增长的百分率相同。

活动：根据实际情境提出问题、找出等量关系、设出未知数并列出方程。

学生可以得到如下方程：

（设计意图：本情境节选了数学兴趣小组的一段记录内容，从学生生活中熟悉的文化墙、羽毛球比赛、100米跑、梯子以及图书馆藏书出发，只呈现数据，不给问题。让学生根据实际情境提出问题、找出等量关系、设出未知数并列出方程。通过预设，学生可以列出一元一次方程、二元一次方程（组）、分式方程和本节课的一元二次方程，设计的方程十分巧妙，具有典型意义并贯穿本节课始终。《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，数学教学应体现数学概念的问题情境，从学生的实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过观察、探索、猜测、交流、反思等活动。逐步体会数学知识的意义，获得积极的情感体验，发展应用数学知识的意义。本环节的设计是与之高度契合的。）

二、概念归纳

二次呈现情境中得到的方程，对方程进行分类。

问题1：你能从中找出哪些是我们比较熟悉、曾经学习过的方程吗？

问题2：你能分别说出它们是我们曾经所学习的哪一类方程，并说明理由吗？

生 1：2x+（12－x）＝20 是一元一次方程，因为它只有一个未知数，并且未知数的次数是1，等号两边都是整式。

生 2：x+y＝12 和 2x+y＝20 都是二元一次方程，因为它们有两个未知数，并且未知数的次数都是1，等号两边都是整式。

师：观察得很仔细，表述的也非常恰当。请大家接着思考。

问题3：经过刚刚的回忆，不禁引发我们思考：方程的命名、定义主要取决于哪些因素？

生：未知数的个数、未知数的次数、未知数的位置。

问题 4：对比（2）（3），你能说出（1）（4）（5）三个方程的特点吗？

生：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，等号两边都是整式。

问题5：你能给我们的新研究对象命名和下定义吗？

生：我们可以称它们为一元二次方程。

定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

（设计意图：二次呈现从实际情境中得到的方程，通过设计问题串引导学生观察、比较、类比、概括，最终自己建构出一元二次方程的定义。让学生亲历知识的形成过程，加深对概念的理解，并对所学的各类方程都有比较清楚的认识和理解，也为本节课的研究奠定了坚实的基础与方向。）

三、概念辨析

你能识别下列方程中的一元二次方程吗？

生 1：（1）（3）（5）是的，因为它们都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2。

生 2：（5）x2－3＝（x－1）（x+2） 不是一元二次方程，因为如果化简后左右两边的x2抵消了。

师：生2观察的非常仔细，此题也提醒我们要判断一个方程是不是一元二次方程，化简是非常必要的，这样的情况其实在实际情境中我们就遇到了。

师：只有把方程化简整理才能准确判断是不是一元二次方程，具体就是把方程右边的项全都移到左边合并同类项，而且所有的一元二方程都可以做这样的化简，你能概括出一元二次方程的一般形式吗？

生：一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）。其中 ax2、bx、c分别为二次项、一次项、常数项，a，b分别为二次项系数、一次项系数。

师：通过刚刚的探讨研究，我们又进一步得出一元二次方程的一般形式，加深了对一元二次方程的理解。

（设计意图：通过对一元二次方程的识别，加深对概念的理解，并让学生意识到化简方程的必要性从而总结出一元二次方程的一般形式。）

四、反思收获

今天这节课你有何收获？

生：我们学习了一元二次方程的定义，了解了它的一般形式。

师：接下来你将如何研究一元二次方程？

生：解法。

师：回归情境中的方程：如何解x2＝4？

生：x1＝2，x2＝-2（舍去）。

师：那么 x2－4＝0 呢？

师：你能试着说说你是如何思考的吗？

（设计意图：通过设计问题引发学生进一步对探寻一元二次方程解法的思考。这里用到的数学思想是把一元二次方程通过降次转化为一元一次方程。用到的具体方法为平方根的定义、因式分解。）

【团队推荐】

1．关注学生的自主学习。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，数学教学应体现数学概念的问题情境，从学生的实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生经历观察、探索、猜测、交流、反思等活动。在磨课过程中，许吴山老师尝试过给出四五个问题，让学生直接根据问题情境找到等量关系，设出未知数并列出方程。上完后总是感觉缺少了学生自主学习、自主提问的过程，缺少了数学味道、思维味道。学生在前面已经学习过了一元一次方程，二元一次方程（组），分式方程，学生具备了研究方程及其后续问题的经验。一元二次方程是一节生长课，生长课要由学生自主探究，自主学习。最后将本节课问题情境设置为数学兴趣小组的一段记录内容，从学生生活中熟悉的文化墙、羽毛球比赛、100米跑、梯子以及图书馆藏书出发，只呈现数据，不给问题。这样问题情境是开放性的，给学生充分自主学习，自主提问的过程。问题情境创设是这节课的一大亮点，它既关注现实生活中的二次方程背景，又考虑不同方程类型前后一致、逻辑连贯的特点，更重要的是关注了学生的自主学习，提高了学生学习的兴趣，提升了学生数学核心素养。

2.关注知识的整体框架。

人教社编审章建跃先生说：“数学的整体性既体现在代数、三角、几何等各部分数学知识的相互联系上，也体现在同一部分内容之间的前后逻辑性上。”在义务教育阶段的授课内容中，一元二次方程的内容是方程的核心内容之一。一元二次方程是学生初中研究的最后一类方程，学生已具备研究一元一次方程、二元一次方程（组）、分式方程的学习经验。本节课没有仅仅从一元二次方程的问题情境出发，而是在问题情境中设计了所学过的所有方程。通过经历列出方程，归纳概括出一元二次方程的定义的过程，学生能够辨别出各类方程的相同点和不同点，学生能够对初中学习过的方程形成一个整体框架结构，理清各方程间的联系与区别，这样达到形成研究方程的一般性思路和方法。

3.关注学生的后续学习。

本节课不仅仅完成了教学目标和内容：用一元二次方程刻画现实生活情境中的等量关系；通过观察、类比，归纳一元二次方程的概念。同时作为本章节的起始课，要考虑到对本章内容的统领作用，也要为后续学生进一步研究一元二次方程的解法和应用奠定坚实的基础。最后在反思收获中问“接下来你将如何研究一元二次方程？”这个开放性的设问学生完全是有能力，有经验回答出来的。这个问题承上启下，引导学生通过回忆已有的相关活动经验，提出研究的问题，即一元二次方程如何解？方法是什么？思想又是什么？培养学生发现问题和提出问题的能力，这也和方程的研究思路“实际问题——方程概念——方程解法——问题解决”不谋而合，提高学生学习数学的逻辑思维，建构起学习方程的方法。