◇林碧珍

（上接2018年第4期第7页）

四、数学臆测引发论证的课堂教学实践

依据上述臆测五个阶段的理论架构建立的臆测教学模式及数学臆测任务的设计架构，研究团队在过去的六年中设计了一系列数学臆测教学模块，并出版专著[3]。下面以五年级学生学习“小数乘法（除法）的乘数（除数）大于1、等于1或小于1时，积大于、等于或小于被乘数（商小于、等于或大于被除数）”为例，具体阐述数学臆测五个阶段教学模式的意义及做法。

（一）数学臆测融入“小数乘除法”的任务设计。

执教的王老师选择将臆测活动融入此教学内容，主要是想破除学生“乘变大，除变小”的迷思概念。（“迷思”在台湾是一个常见的词语，主要指对某件事有错误的认识，或者有偏见——编者注）再者，为了解决教科书中一个活动达成一个活动目标的问题，任务设计是以一个活动建立一组数学概念为理念的，所以此臆测活动的教学目标包括：（1）能解决小数或整数除以（乘以）小数的除法（乘法）问题；（2）能借助除数（乘数）与1的大小关系，判断被除数（被乘数）与商（积）的大小关系；（3）能整合整数、小数、分数的乘除法中，被除数（被乘数）、除数（乘数）与商（积）三者之间的关系。此臆测活动的过程如表2所示。

表2 数学臆测五个阶段的任务设计（共4节课）

（二）数学臆测教学阶段一：造例。

王老师将班上27名学生分成7组（有6组是每组4人，有1组是3人）。每组各拿到一套包含10个不同情境的小数乘法和除法的文字题，各组的乘数或除数均含大于1、等于1及小于1的数， 分别为 0.25、0.8、1、1.6、6.25 及 0.02、0.4、1、1.25、2.5，这两组不同数据的乘数或除数是为了效化猜想而设计的。图3是造例阶段历经个人及小组讨论，各组汇整例子后进行分类的结果。其分类结果按照数据组织的方式可归为四大类：

1.依据乘法和除法运算分为两类，如第2组和第4组。第2组学生又将每一类细分为乘数或除数大于1、等于1、小于1，但第4组观察到的两类关系是积由大到小及除数由大到小。

2.依据乘数和除数大于1、等于1、小于1分为三类，如第 1、5、6 组。

3.依据乘数和除数相同分为五类，如第3组。

4.依据结果大于 1、等于 1、小于 1分为三类，如第7组。

（三）数学臆测教学阶段二：提出猜想。

为何在臆测教学第二阶段，需要让每名学生提出个人猜想？理由有二：（1）为了提高每名学生的参与度；（2）为了避免交流时被组内优秀学生掌控，剥夺其他成员参与学习的机会。我们在长期观察中发现，学习不利或低成就的学生会观察表面的数字关系并提出猜想，观察力敏锐或高成就的学生则能观察到数据之间的结构关系。由于王老师给每名学生提供了提出个人猜想的机会，所以不同类型及不同质量的猜想百花齐放，绽放在课堂中，相关的一组数学概念因而产生。

图3 7个小组造例的分类结果

为什么还要求小组提出公认的猜想呢？因为有时个人提出的猜想是错误的，有时不是依据组内的数据提出的，所以有必要让组内成员相互检验正确性。表3是臆测教学的阶段二从活动2.1到活动2.3历经个人及小组讨论后，各组学生提出的猜想的数量及归类。猜想共归为10类，依次命名为第1类到第9类和其他类。前3类是有关乘法（除法）的乘数（除数）与1的比较关系，最终能通向本节课的教学目标。第4类是1的特性，是教师非预期的却是令人惊艳的猜想。第5类到第9类是学生主动回忆过去学过的与乘法（除法）相关的数学知识。其他类是不能成为恒真的猜想或错误的猜想，在有限的教学时间内无法提出来进行全班讨论。

表3 各小组提出各类猜想的数量

从表3中的数据发现：（1）臆测教学能提高组内每名学生的参与度：各组提出的猜想总数都不少于4个，平均1人至少提出1个猜想，小组内中、低成就的学生也参与了学习；（2）猜想的正确性与质量需再通过从小组到全班讨论来提升：虽已经过组内审核，但是有些猜想质量不高，如第6组有3个猜想被归到“其他”类。所以，臆测第二阶段仍需要教师介入，由全班检验各组公认的猜想，并提出全班公认的猜想；（3）臆测教学能让学生主动建立数学知识，最终通往预期的教学目标，几乎各组都能提出通往教学目标的猜想1（如图4）和猜想2。

图4 猜想1

以下分别描述猜想1～9的内容：

猜想1：（1）乘数小于1时，积小于被乘数；（2）乘数等于 1 时，积等于被乘数；（3）乘数大于1时，积大于被乘数。

全班7组中，除第7组外，其他6组都提出了猜想1。在这6组中，猜想的表征方式不尽相同，第 1、3、6 组的猜想表征归为一类，第 2、4、5组的猜想表征归为另一类。除前提（“在小数乘法中”）没描述清楚外，几乎接近于预期的教学目标。由于第7组组织例子是依据积大于1、等于1、小于1分类的，所以不易观察到乘数大于1、等于1或小于1对被乘数与积的关系的影响。所以在造例阶段，数据的组织及排列是否适当深刻影响着猜想提出的内容及质量。

猜想2：（1）除数小于1时，商大于被除数；（2）除数等于 1 时，商等于被除数；（3）除数大于1时，商小于被除数。

全班7组都提出了猜想2。第1、3、6组的猜想表征归为一类，都是用文字表述猜想的；第2、4、5、7 组的猜想因加入数学符号（如“＞1”“÷1 以上”等）表征想法而归为另一类。

猜想3：（1）除数、乘数小于 1，则商大积小；（2）除数、乘数大于1，则商小积大。

除了分别从乘法的乘数大于1、等于1、小于1观察积和被乘数的大小关系，以及从除法的除数大于1、等于1、小于1观察商和被除数的大小关系，第3组的学生更进一步提出整合除法的除数和乘法的乘数大于1、小于1时对商和被除数及积和被乘数的关系的影响。

猜想4：（1）某个数×1=自己，某个数÷1=自己；（2）1×某个数=自己，某个数÷（1以外的数）绝对不会等于自己。

猜想4不是教师预期的教学目标，却是很令人惊艳的猜想。

猜想5：除数小于被除数，商大于1；除数等于被除数，商等于1；除数大于被除数，商小于1。

这个数学性质隐藏在教科书的例题或练习题中，但并没明确地作为教学目标来达成。而本臆测活动，却让学生有机会发现这个性质。在所有组别中，第2组学生所提的猜想数量多而且质量高，猜想5只有第2组和第5组学生提出。

猜想6：（1）被乘数×乘数=积，积÷乘数=被乘数，积÷被乘数=乘数；（2）被除数÷除数=商，商×除数=被除数，被除数÷商=除数。

虽然第7组的数据有利于通过观察发现乘除法中1的特性，但也相对失去了发现其他猜想的优势，因此该组提出的猜想也欠缺丰富性，而只提出了过去学过的乘法中被乘数、乘数、积和除法中被除数、除数、商的数学关系。

猜想7：如果乘数由大到小，积也会由大到小。

这个猜想是根据一堆组织好的数据，依据表面的数的排列关系观察到的结果。第4组提出这个猜想是看到各算式中由上到下各数的关系，也观察到表面的数的排列顺序“被乘数都相同；被除数都相同”。第4组能进一步用更精准的数学语言以“乘数和积成正比”的描述取代上述猜想。

猜想8：除数越大，商就越小；除数越小，商就越大。

有关除法的猜想8和有关乘法的猜想7在数学上是同构的，它们都是学生学过的数学关系。若学生对数学有感觉，发现了猜想7，就应该能类似地想到猜想8，但只有第2组和第5组同时提出这两个猜想。

猜想9：积的小数位数是被乘数小数位数和乘数小数位数相加。

这个猜想是学生回忆过去学过的小数乘法的性质得出的。

（四）数学臆测教学阶段三：效化猜想。

效化猜想就是让猜想可以适用于更多的例子或类型，也就是要让暂时性的猜想逐渐迈向恒真命题的道路。王老师效化猜想的具体做法是：（1）若此猜想是恒真的，她会在班上寻找其他组的正例来支持该猜想（她在设计任务时就考虑了可以提出相同猜想的两套不同例子，因为在有限的教学时间内，她无法允许学生用太多的时间找出新的例子）；（2）若此猜想非恒真，她也会想办法在班上寻找其他组的反例来推翻该猜想，让学生以理性的态度拒绝该猜想或修正该猜想，而不是由教师以权威来告知。

表2中的活动3.1到3.3是王老师为进行效化猜想设计的活动。对于第4组提出的猜想“某个数×1=自己，某个数÷1=自己”，她提问：“其他组中，有谁的例子是支持这个猜想的？”从7组例子中都可以找到例子支持，这也显示出王老师针对该猜想在设计任务时就已经考虑到了。但是在效化猜想4中的“1×某个数=自己”时，思考不够严谨，因为除第7组外，没有其他组例子中的被乘数是1，此时的正例就得在短时间内想出来。

学生提出了猜想1～9，是否每类都需要效化？由于教学时间有限，王老师对与教学目标最相关的猜想1和2优先效化，而且几乎各组都提出了这两个猜想，各组的例子都可以作为效化用。然而，值得注意的是，猜想1～9虽然都可以导到恒真命题，每组都可以找到正例，但是没有反例，而王老师的专业支撑她，在乘法或除法中，“0除外”的条件是必要的。最终，王老师带领全班将猜想1和猜想2进行修正，加上了“在小数除法（乘法）中，除了0以外”这个前提。同样地，对于其他猜想，王老师也以同样的方式处理。

（五）数学臆测教学阶段四：猜想一般化。

阶段二和阶段三中学生提出的猜想都只对有限个例子成立，阶段四的目的是让各猜想适用于所有的例子。学生需要从少数几个例子找到更多例子，并大胆推论到所有的例子，从有限例子支持的猜想大胆推论到所有例子都支持的猜想，这样的过程可以培养学生归纳推理的能力。学生以生活语言描述的暂时性猜想，在此阶段为了形成一般化结论，经教师的协助须提升为较精致化的数学语言，从而成为数学命题，全称量词也因而自然使用出来。表2中的活动4.1和4.2是王老师为进行猜想一般化而设计的活动。他们在进入猜想一般化阶段后，讨论了猜想1、2、4、5、7。如猜想1一般化后的表述如下：

在小数、分数和整数的乘法中，除了0以外，

（1）（任意一个数）×（小于 1 的数）＝积＜被乘数（整数乘法例外）；

（2）（任意一个数）×（等于 1的数）＝积＝被乘数；

（3）（任意一个数）×（大于 1的数）＝积＞被乘数。

（六）数学臆测教学阶段五：证明。

进入证明阶段之前，猜想都还未被证实是对的。在所有这些猜想中，对猜想1、4、5、7的证明只要回到乘法中用乘法的定义即可解释，唯一需要证明的是猜想2。表2中的活动5.1是王老师为证明恒真猜想而设计的活动。对猜想2，王老师问全班学生：“如何说服别人相信您说的 ‘在小数除法中，除了0以外，（任意一个数）÷（小于1的小数）＝商＞被除数’是对的？”其中第5组学生不再以数个例子试验，而是取回过去的小数乘法经验来解决小数除法的这一新问题，所以采用了演绎推理的证明方法，他们的说明为：“因为除以小于1的小数，相当于乘以大于1的小数，所以结果会变大。”

五、结论与建议

臆测教学引发数学论证的五阶段教学模式，各个阶段都有其存在的必要性，每个阶段都是提供机会让学生主动建构数学知识的过程。本臆测教学五个阶段具有下列特征：

（一）数学知识的形成是“观察多例—发现关系、提出猜想—扩充例子来效化猜想—透过一般化将非恒真猜想转变为恒真猜想—证明猜想”的过程，让学生在小学阶段就经历像数学家发现数学知识一样的严谨历程。诸如：在小数乘除法中，五个恒真命题都是学生自行产生的数学知识，而非由教师直接告知。

（二）在造例阶段，这个臆测活动将小数的乘法和除法的例子放在一起学习，由学生主动提出猜想“结果变大或变小取决于乘数或除数是否大于1”，提供机会让学生破除“乘变大，除变小”的迷思概念。

（三）在个人猜想阶段，学生建立了一组相关联的数学概念或性质。从第一阶段的造例，到第二阶段提出猜想，再到第四阶段猜想一般化，由个别学生提出个人猜想，才有机会产生一组相关联的猜想，让学生感觉到在此过程中习得的数学知识是一组互相关联的概念或性质，而非独立的、片段的，并弥补教科书中以一两个例子得出数学概念或性质的不足。

（四）在效化猜想阶段，培养学生找证据支持自己或他人的想法、找反例反驳不同意的猜想，培养学生言之有理的习惯。在效化猜想阶段，非恒真猜想可能被例子推翻，因此在此阶段，学生有机会经历非恒真猜想、错误猜想、恒真猜想、恒假猜想的各种类型，弥补教科书上大多仅提供恒真猜想这一单一类型的不足。

（五）在猜想一般化阶段，借助一般化过程，学生能理解并慎用“任意”“所有”，透过一般化过程将一个数学叙述的前提或限制条件说清楚，以这样的严谨历程来处理数学逻辑语言中的全称量词。在此阶段，也给学生提供了将自然语言发展为精致的数学语言的机会。

（六）在证明阶段，因有了第一阶段到第四阶段的铺垫，进入这个阶段时，学生具有足够的数学知识作为证明的论述，因而臆测教学中的证明，小学阶段学生可以从以举出几个例子来验证的较低层次提升到以演绎推理来证明的较高层次。

最后，我们发现臆测教学可以提供让低成就学生参与数学学习的机会，使他们不再是数学课堂中的看客。培养学生数学素养的教学取向多元，在臆测中融入数学论证是一种可行的方案。在提倡培养学生数学素养的今天，建议教学者或教科书编写者参考此范例，在更多的数学主题中编制臆测教学任务并进行教学实践。