唐盖盖 傅祥棣 邵广申 陈 宁

（江苏科技大学 能源与动力工程学院 镇江212003）

引 言

灰色理论所要处理的问题是：利用某系统的已知信息去认知这个系统的特性、状态和发展趋势，并对其未来作出预测。灰色模型即灰色理论的微分方程模型。传统灰色模型为GM（1，1）模型，是一个一阶且一个变量的微分方程模型，因其模型结构简单且预测结果可信度较高而被广泛应用于工业、农业、交通领域的预测。由于船舶上对主要动力源柴油机安全性的关注度提高，GM（1，1）模型也逐渐被应用于船用柴油机的故障诊断，如对船用柴油机热工参数的预测［1-3］。但是，一般GM（1，1）模型是依据固定已知信息作为初始值建立预测模型的，对于船用柴油机长期运行机件磨损造成性能指标降低后产生的问题，其预测能力较差。为进一步提高GM（1，1）模型预测精度，很多学者提出了多种改进方法：在灰色GM（1，1）模型和线性回归模型的基础上结合有效度原理建立新的组合模型［4］，对建模序列进行对数平滑处理，而后利用遗传算法对背景值进行寻优，形成改进的新陈代谢GM（1，1）模型［5］；在灰色预测的基础上进行马尔科夫预测，利用马尔科夫状态转移矩阵来改进灰色系统模型［6］等，但其均未对GM（1，1）模型的基本构建参数进行修正。从根源上分析建模误差来源；文献［7-10］中对GM（1，1）模型构造参数中的初始值以及权数进行了修正，但没有建立动态模型，对于长期的预测性能较弱。笔者通过新陈代谢法建立动态GM（1，1）模型，进而修正了动态模型构建参数中的初始值、背景值权数以及模型维数，并通过仿真模型数据对其进行了预测精度分析，证实了最终改进后的动态GM（1，1）预测模型相对于文献［1］和文献［7］的GM（1，1）模型有更高的预测精度。

1 G M（1，1）模型建立与改进

1.1 一般G M（1，1）模型

一般的GM（1，1）模型的建立如下：已知一组已知量序列：

（2）对 作准光滑性检验：

当k＞ 2时，若存在 ＜ 0.5，则满足准光滑条件。

（3）对 做一般准指数规律检验：

当k＞2时，若存在 ，则满足准指数规律。

（4）若满足以上检验条件，则说明序列满足一阶线性微分方程：

（5）对 做紧邻均值等权生成，得到式（4）的背景值：

（6）对参数列 做最小二乘估计［11］得：

（7）将a和u带入GM（1，1）白化方程得时间响应函数：

式中：k≥1，得到X1的模拟值：

（8）以 做累减还原，即可得到原始序列的预测序列［12］：

（9）检验模型精度：

采用相对误差（RPE）来衡量预测模型精度，RPE定义如下：

式中： 为第k个实际值， 为第k个预测值，模型最终的预测精度可由平均相对误差（ARPE）来衡量，ARPE定义如下：

1.2 G M（1，1）模型改进

1.2.1 新陈代谢GM（1，1）模型

在实际情况中，针对船舶柴油机这个连续系统，随着时间推移，会不断产生新的数据以及新的未知波动，使系统的发展情况受到影响。从发展的角度看，随着系统长期发展，偏离时间点越远的数据对系统的描述是越弱的，所以在实际建模中，将不断地以新的数据替换之前的已知数据作为GM（1，1）预测模型初始值，也就实现了数据的新陈代谢，即新陈代谢GM（1，1）模型，对传统模型的长期性预测能力进行了有效的改进。建模方式如下：

像这样随着原始数据序列变化而更新的预测模型即为新陈代谢 GM（1，1）模型［13-14］。

1.2.2 模型构建参数修正

最小二乘估计法是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳匹配函数，可简便地求得未知的数据，并使这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。为此，笔者将使用最小二乘法统一修正模型结构参数。

1.2.2.1 背景值权值修正

一般的GM（1，1） 预测模型在生成背景值时，为方便计算，采用等权生成，即 的相邻两项权值μ1和μ2均为 0.5（μ1+μ2=1），实际应用中并没有文献证明在μ1=μ2= 0.5时的预测模型精度最高。因此，笔者认为应在建模时用式（15）替换式（5），以μ1在［0， 1］内自增0.01的步长进行迭代寻优确定最优权值。

1.2.2.2 初始值修正

一般GM（1，1） 预测模型默认预测初始值为原始序列第一项 ，但实际上，该做法并不能保证针对各种应用条件下都能使模型预测误差最小，因此，根据最小二乘法原理进行修正初始值，修正方法如下：

（1）根据式（6），设最佳初始值为m，则GM（1，1）模型得出的原始序列估计方程为：

（2）模型预测值为：

（4）计算预测值与实际值的方差和S：

模型背景值和初始值并行修正算法见图1。

图1 模型初始值和背景值权值修正算法

1.2.2.3 维数修正

新陈代谢GM（1，1）模型虽然实现了随原始序列变化而更新，但其维数往往是一个人为设定的定值，易受到系统阶跃性数据的影响，民致模型预测精度降低。对于该问题笔者认为，应适当地保留几位历史数据，可以使预测模型更为平滑，受系统的阶跃性数据影响减小。在保证模型预测值与实际值方差最小的情况下，通过对历史数据的迭代建模进行寻优，从而确定预测模型最佳维数，寻优方法如下：

（2）第k次建模所取参数序列为：A1X0t=｛x01，x02，…，x0k+n｝，A2X0t=｛x02，x03，…，x0k+n｝，…，AkX0t=｛x0（k），x0k+1，…，x0k+n｝，然后修正初始值和背景值权值并建立GM（1，1）模型。

（3）分别计算所有模型的预测值与实际值的方差，取预测值和实际值误差的平方和最小的模型作为最优模型。

2 船用柴油机热工参数提取

2.1 船用柴油机仿真模型搭建

利用AVL Boost［15］仿真计算软件建立6100型船用柴油机仿真模型，其初始状态依据柴油机厂家提供的结构参数和实验台架数据设定。仿真模型图见图2，柴油机部分结构参数和初始参数值见下页表1。

图2 柴油机仿真模型

表1 柴油机主要结构参数和部分初始参数值

仿真模型主要包括：2个系统边界（SB1，SB2），空气冷却器，3个稳压腔（其中PL1为进气腔，PL2和PL3为排气腔），6个气缸模型C1～C6，一个涡轮增压器TC1，发动机主机E1，18个连接管，8个测点（MP1～MP8）。缸内热传民选用的Woschni1978，缸内燃烧模式为单VIBE函数，增压模型选择简易模型（Simplified Model）。

在外特性范围内，将仿真数据与试验台架数据做对比，结果见图3。其中（a）为缸内压力对比曲线，数值误差低于5%；图（b）为平均有效压力对比曲线，数值误差低于3%；图（c）为额定转速2500 r/min下的燃油消耗率对比曲线，吻合程度高。从以上结果可看出仿真数据与实验台架数据吻合较好，该模型满足仿真实验需求。

2.2 热工参数提取

对满负荷、额定转速工况下的柴油机仿真模型，通过调整其喷油量来模拟柴油机运行负荷的变化，负荷变化范围为100%～107%，增量为1%。计算完成后，提取部分柴油机热工参数，包括1缸内爆发压力P1，增压涡轮入口压力P2及进口温度T1，1缸排气温度T2及排气压力P3，共8组。其详细数据见下页表2。

图3 仿真数据与试验台架数据对比

3 实例建模与精度分析

以表2的前4组数据作为建模数据分别建立一般G（1，1）模型、修正参数的G（1，1）模型以及修正参数的新陈代谢G（1，1）模型，然后取后4组数据来验证模型的预测精度。

（1）首先对建模数据做准光滑性检验和一般准指数规律检验，结果见下页表3。

由表3可看出，5种热工参数在取前4项作为建模初始数据时，当k＞2时，存在 ＜0.5，满足准光滑条件；当k＞2时，存在 ，满足准指数规律，因此均满足G（1，1）模型的建模要求。

表2 柴油机部分热工参数值

表3 建模数据检验结果

（2）三种预测模型的预测结果见表4 -表6。

由表4 -表6可看出，一般G（1，1）模型、修正参数的G（1，1）模型以及修正参数的新陈代谢G（1，1）模型这三种模型的预测精度依次提高，修正参数的G（1，1）模型虽然较一般G（1，1）模型精度有所提升，但幅度较小，而修正参数的新陈代谢G（1，1）模型的预测精度较之前两种有较大改进，因为其“动态”不但体现在有新数据的实时更新，而且还有建模维数的自动修正，使预测结果更加精确。

表4 一般G（1，1）模型预测结果

表5 修正参数的G（1，1）模型预测结果

4 结 语

通过对一般G（1，1）模型的初始值、背景值的权值修正，再基于新陈代谢原理建立了动态的G（1，1）模型，而后对动态模型的建模维数进行修正，形成最终改进的动态G（1，1）预测模型。而后，利用AVL Boost仿真计算软件建立柴油机仿真模型，在验证了仿真模型精度满足要求后，通过调整其喷油量来模拟柴油机运行负荷的变化，并提取部分热工参数作为验证预测模型的数据源，通过对三种预测模型计算结果的分析，结果表明最终改进的动态G（1，1）预测模型精度有很大提高，可以应用于实际柴油机维护中。