许建新，熊智，陈明星，刘建业

南京航空航天大学 自动化学院，南京 210016

目前以GPS、北斗为代表的卫星导航系统已成为无处不在的定位、导航和授时信息源，是现代军民通用的重要信息基础设施，但是由于卫星导航系统自身固有的局限性，如信号功率低，易被敌方压制或欺骗，在高对抗的作战环境下的应用难以保障等，限制了其在一些特定条件和环境下的应用[1-2]。因此，为解决卫星导航系统的固有缺陷带来的导航定位问题，世界各国都在积极发展卫星导航增强技术和区域导航系统[3]。为提高GPS抗干扰能力，美国国防高级研究计划局最早提出了全球定位实验伪卫星概念，并于2001年开始实施GPX计划，演示了空基伪卫星概念的可用性。日本也提出平流层伪卫星飞艇辅助导航和定位的概念，将伪卫星置于高空平台，扩大系统覆盖范围，将其应用于环境监测及通信等领域。澳大利亚的Locata公司发布了Locata系统，利用多个发射强无线电定位信号的地基伪卫星发射器组成的网络实现定位，是采用类GPS定位技术的地基局域网络[4-5]。

在利用伪卫星进行辅助定位过程中，需要确定伪卫星基站的位置及与用户的距离，通过几何定位解算出用户位置[6-7]。为了更加快速灵活地部署伪卫星基站，实现无卫星环境下的区域导航定位功能，本文以无人机(UAV)作为空基平台，提出一种区域导航定位算法，实现对地面用户的定位。将无人机部署在预定空域，并播发自身位置及时钟信息，地面用户通过接收无人机位置及与无人机的距离，分别采用列文伯格-马夸尔特(LM)算法模型和两步最小二乘算法模型计算出地面用户的实时位置，在卫星导航系统不可用情况下，满足一定区域范围内用户的导航定位需求。

1 无人机辅助区域导航定位方案

(1)

以地面战车为例，本文设计了基于无人机辅助的地面用户导航定位方案。在图1的区域导航定位场景中，在没有GNSS信号的情况下，无人机编队处于独立组网模式，以其中一架无人机作为时间基准，其他无人机通过时间同步链路与基准无人机实现高精度时间同步[8-9]。考虑到无人机本身的定位误差及测距误差，直接采用式(1)求解可能会出现无解或虚数解的情况。

图1 无人机辅助的地面用户定位示意图Fig.1 Sketch map of regional navigation based on unmanned aerial vehicles

为了综合利用多架无人机的定位信息，本文采用LM非线性优化算法来求解地面用户位置。LM算法能通过修改参数达到结合高斯-牛顿算法以及梯度下降法的优点，并对两者的不足作改善，如高斯-牛顿算法中逆矩阵不存在时将无法继续迭代的问题[10]。此外，为提高一般最小二乘算法的计算精度，消除地面战车接收机与无人机之间的时钟误差，提出了两步最小二乘算法，通过距离差分，消除钟差，提高定位精度。在获得地面战车位置后，利用车载的惯性传感器输出信息，通过卡尔曼滤波算法进行数据融合，得到最终的导航结果输出。具体方案图如图2所示。

图2 基于无人机辅助的地面用户定位方案Fig.2 Scheme of regional navigation based on unmanned aerial vehicles

2 无人机辅助的地面用户定位算法模型

2.1 LM算法模型

在图1的定位场景中，对地面用户接收到的N架无人机信息，考虑到地面用户的等效时钟误差εU，有

(2)

(3)

式中：AU为卫星导航伪距单点定位算法中的一个计算矩阵；

令

fi(Υ)=(xU-xi)2+(yU-yi)2+

(zU-zi)2-(Li-εU)2

式中：i=1,2,…,N，则用户的坐标位置U的最优解U0等价为求解

(4)

根据泰勒公式将f(Υ)在Υ=Υk处展开，忽略二阶小项，可得

f(Υ)≈f(Υk) +Ak(Υ-Υk)

(5)

式中：

f(Υ)的雅克比矩阵。

则

Q(Υ)≈(f(Υk) +Ak(Υ-Υk))T(f(Υk) +

Ak(Υ-Υk))

(6)

在传统的高斯-牛顿迭代算法中，用户位置及时钟等效误差的递推公式为

(7)

(8)

(9)

在式(9)中，γk过大则会影响Υk+1的收敛速度，可以通过对比Q(Υk+1)和Q(Υk)的值进行动态调整。

2.2 两步最小二乘算法模型

传统最小二乘算法中，根据式(2)，第2～N个方程均减去第一个方程，整理后可得

HsΥ=bs

(10)

式中：

则，通过最小二乘计算可得

(11)

该算法简单易实现，但是由于没有考虑无人机的位置误差和测距误差，使得计算的定位结果误差较大。针对图1的定位场景，考虑到地面用户与无人机的钟差问题，并综合利用无人机的位置误差和测距误差统计值，提出了两步最小二乘算法，用于计算地面用户的位置信息，其算法模型如下。

(12)

2(Uo-Si)TΔSi+2(Uo-S1)TΔS1

(13)

(14)

因此，式(13)可改写为

(15)

(16)

(17)

式中：

(18)

(19)

(20)

cov(θ)=E(Δφ1(1:4)Δφ1(1:4)T)=

(GT(BQLBT)-1G-

GT(BQLBT)-1DR-1DT(BQLBT)-1G)-1

(21)

(22)

(23)

式中：Δθ(1∶3)为θ(1∶3)的估计误差。

在式(23)中，两端同时减去S1，再对向量中每个元素平方，略去二阶小量，可得

-2(Uo-S1)⊙Δθ(1∶3)=

(Uo-S1)⊙(Uo-S1)

(24)

式中：⊙表示向量中对应元素的乘积。

(25)

将式(24)和式(25)合并写成矩阵形式，得

(26)

式中：

根据最小二乘准则，可得地面用户的位置结果为

(27)

由此可得地面用户的定位结果表达式为

(28)

该算法第1步先求出地面用户的误差粗值，并求出其协方差矩阵，第2步利用误差粗值的协方差矩阵及无人机的位置信息，计算出用户与参考无人机的位置坐标差值，最终获得地面用户的位置估计结果。该算法综合利用了无人机的位置误差和测距误差统计值，使得最终的计算结果相比一般最小二乘算法更为准确。

2.3 组合导航算法模型

以地面战车为例，在采用以上方法计算出其位置之后，可以结合自身装备的惯性导航系统输出的传感器信息进行组合导航，获得连续可靠的定位。

2.3.1 系统状态方程

在惯性导航系统中，选取18维系统误差状态量为[12]

X=

导航坐标系选取为东北天坐标系，可以获得惯性导航系统的误差状态方程为

Xk=Φk|k-1Xk-1+Gk-1Wk-1

(29)

式中：Φk|k-1为惯性导航系统误差方程所对应的状态转移矩阵；Gk-1为惯性导航系统误差方程所对应的白噪声误差系数矩阵；Wk-1为惯性导航系统误差方程所对应的白噪声随机误差向量。

2.3.2 系统量测方程

在2.1和2.2节中，采用LM算法和两步最小二乘算法计算出的地面用户位置信息均为经度、纬度和高度。因此，在东北天导航坐标系下，2种 算法的量测模型相同，如式(30)所示。

ZM=HMX+VM=

(30)

式中：ZM为k时刻获得的量测信息；HM为k时刻的量测系数矩阵；VM为k时刻的量测噪声；wM1、wM2和wM3分别为纬度、经度和高度方向的定位误差。

根据以上所推导的系统状态方程和量测方程，设计对应的闭环卡尔曼滤波器为[13]

(31)

3 算法仿真验证与分析

为验证所提定位算法的有效性，首先采用Monte-Carlo方法进行静态仿真，测试LM算法和两步最小二乘算法的定位精度，然后再与地面战车中的惯性导航定位算法进行组合导航仿真。

3.1 静态测试

对无人机的空间分布已有学者进行了研究，本文假设有6架无人机，按照蜂窝型空间布局[14-15]，地面用户静止，仿真参数如表1所示，采用本文所提算法进行10 000次Monte-Carlo仿真。图3为无人机和地面用户的空间分布图。

图4～图6分别为LM算法、一般最小二乘算法和两步最小二乘算法的定位误差分布。从图中可以看出地面用户的经度、纬度和高度的误差分布皆近似服从正态分布，并且经度和纬度方向误差较小，高度方向误差较大。根据以上仿真结果分别统计了经度、纬度、高度3个方向的均值和标准差，如表2所示。

从表2的统计数据可以看出，LM算法和两步最小二乘算法在水平方向定位误差为10～13 m，2种算法的误差标准差相近，但LM算法的误差均值更小，在高度方向LM算法定位误差标准差为334.5 m，两步最小二乘算法误差标准差为290.7 m，两步最小二乘算法误差更小，从三维分布误差来看，两步最小二乘算法略优。此外，从表中标准差数据可以得到，相比一般最小二乘算法，本文所提出的LM算法在经度、纬度和高度方向误差分别降低了79.1%、63.2%和11.7%，两步最小二乘算法在经度、纬度和高度方向误差分别降低了78.9%、65.8%和23.2%，在精度上有较大提升。

表1 静态环境下仿真参数设置Table 1 Simulation parameters setting in static condition

图3 无人机和地面战车的空间分布Fig.3 Space distribution of UAVs and terrestrial user

图4 LM算法定位误差Fig.4 Position error using LM algorithm

图6 两步最小二乘算法定位误差Fig.6 Position error using two-step least square algorithm

AlgorithmParameterLongitude error/mLatitude error/mAltitude error/m3-D error/mConventional least square algorithmLM algorithmTwo-step least square al-gorithmMean value-0.76 0.195.265.32Standard deviation 61.39 30.42378.7384.85Mean value-0.19-0.295.175.18Standard deviation 12.85 11.19334.5334.93Mean value3.21 2.770.374.26Standard deviation 12.96 10.39290.7291.17

3.2 动态测试

在实际应用中，无人机和地面用户每时每刻都处于运动状态。本文设计了6架无人机及地面战车的运动航迹，并通过提出的算法利用无人机位置信息和距离信息实时求解地面用户的位置，再结合地面战车本身的惯性导航系统获得连续的位置输出。图7为无人机和地面战车的三维航迹图，在0～2 000 s，无人机起飞飞到预定区域，并在上空盘旋，在第2 000 s地面战车开始运动，初始位置为109.75 °E，19.5 °N，高度为500 m。整个仿真时长为3 600 s。

图8中红色为一般最小二乘算法的定位误差曲线，蓝色为LM算法的定位误差曲线，绿色为两步最小二乘算法的定位误差曲线。从图中可以看出地面用户的定位误差呈现一定的周期性变化，这是由于无人机在空中盘旋使得几何构型改变，从而引起定位误差的变化。表3为动态情况下地面战车的定位误差统计，可以看出在地面战车的运动过程中本文所提出的2种定位方法的标准差相近，但LM算法的高度方向精度稍差。

图7 地面用户和无人机的三维航迹图Fig.7 Three dimensional trajectory of terrestrial user and UAVs

图8 无人机辅助定位误差Fig.8 Position error based on unmanned aerial vehicles

AlgorithmParameterLongitude error/mLatitude error/mAltitude error/m3-D error/mConventional least square algorithmLM algorithmTwo-step least square algorithmMean value-2.531.71-19.2919.53Standard deviation 44.1738.33 476.2479.8Mean value-0.310.44 2.542.60Standard deviation 17.118.91 330.1331.1Mean value 0.431.07-6.806.89Standard deviation 17.9318.81 297.2298.3

下面测试地面战车组合导航结果。地面战车的惯性导航系统参数配置如表4所示。

根据表3地面战车定位误差统计，将卡尔曼滤波算法中的量测噪声经度、纬度和高度方向分别设置为20、20、300 m。

图9和图10分别为一般最小二乘算法、LM算法和两步最小二乘算法下地面战车组合导航的速度误差和位置误差曲线。表5对地面战车组合导航的速度误差和位置误差进行了统计。从以上误差对比结果可以看出，在与地面车辆惯性导航系统输出进行卡尔曼滤波数据融合后，导航输出结果更加稳定，本文提出的2种算法的误差标准差相近。在高度方向，2种定位算法误差均较大，可以考虑采用气压计等高度传感器辅助，用以提高定位精度。

表4 地面用户捷联惯性导航系统参数配置

图9 组合导航速度误差曲线Fig.9 Velocity error curve of integrated navigation

图10 组合导航位置误差曲线Fig.10 Position error curve of integrated navigation

ParametersConventional least square algorithmLM algorithmTwo-step least square algorithmMean valueStandard deviationMean valueStandard deviationMean valueStandard deviationEast velocity error/(m·s-1)-0.330.93-0.290.72-0.250.75North velocity error/(m·s-1) 0.470.99-0.060.71 0.390.71Up velocity error/(m·s-1)-1.122.50 1.032.17-0.202.16Longitude error/m-5.2115.12-2.567.53-1.498.23Latitude error/m 5.7713.79 0.768.27 4.338.00Altitude error/m-28.37106.8 25.8579.01-8.7568.09

4 结 论

1) 针对卫星导航系统受到干扰不可用的情况，利用无人机的位置及其与用户的距离信息，分别采用LM算法模型和两步最小二乘算法模型计算出地面用户的实时位置，解决了伪距定位算法中矩阵不可逆问题，从定位结果来看，本文所提出的算法相比一般最小二乘算法在精度有较大提升。

2) 结合地面用户自身的惯性导航系统，通过卡尔曼滤波算法进行信息融合，获得地面用户连续的位置信息。仿真验证表明，采用本文所提出的区域导航定位算法，可以在卫星导航系统拒止环境下，满足一定区域范围内用户的导航定位需求。

3) 从静态定位精度结果来看，LM算法和两步最小二乘算法均能实现对地面用户的定位，从三维空间误差统计来看，两步最小二乘算法精度略优。但由于2种算法的原理不同，无人机分布的几何构型以及无人机本身定位精度和测距误差等因素对这两种算法的影响还需要再深入研究。