岳红云 刘功伟

【摘要】复变函数的积分是复变函数的核心内容，而在复变函数的学习中，工科学生普遍对积分的计算，特别是利用留数定理进行解析函数积分的计算感到无所适从，以至于对整个复变函数课程的学习产生了不良的影响.本文将通过一个典型例题举出复积分计算的各种方法，并且对不同解法进行比较，从而让初学者不但能熟练掌握复积分的计算方法，而且能透彻地掌握它们之间的联系.最后，通过总结复积分的各类方法，还能对留数定理的重要性有较高的认识，让学生对复积分的学习有充分的信心.

【关键词】复积分；留数定理；柯西积分公式

【基金项目】河南工业大学理学院数学物理方法课程改革与实践项目《数学物理方法课程教学改革与实践（26510030）》.

一、前 言

三、结 论

通过以上3种解法，读者可以学习到解析函数积分计算的所有重要方法，即留数定理、扩充复平面上的留数定理、复合闭路定理结合柯西积分公式，其中：

1.解法1利用留数定理进行积分的计算，解法2利用扩充复平面上的留数定理进行积分的计算，如何恰当选择？通常，当闭曲线内部奇点较少且容易计算留数时就用留数定理，当闭曲线外部奇点较少且容易计算留数时就用扩充复平面上的留数定理进行计算.

2.解法3主要是由柯西积分公式得到的，与由留数定理计算的解法1相比，柯西积分公式要求被积函数具有特定的形式，若被积函数f（z）=e1zz，则不能使用柯西积分公式.特别地，当闭曲线C内部的奇点数多于一个时，就不能直接利用柯西积分公式，须结合复合闭路定理计算积分，这就是解法3.

综上可知，解析函数的积分有多种计算方法，而留数定理计算积分时没有形式的要求，计算方法更具有普遍性，适用范围更广泛，因此，留数定理的影响力更大.可以说，留数定理是复积分计算的最有效的方法，而柯西积分公式，还有高阶导数公式，柯西—古萨基本定理（可以简单验证）都是留数定理的特殊情况，所以留数定理联系了柯西等定理及级数理论，是复变函数积分理论中最核心的内容，并且留数理论在控制论及稳定性理论中都有重要应用，而通过本论文的解析，就使得复变函数的核心内容更加突出，学习更加轻松、愉快.

【参考文献】

[1]刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义[M].北京：高等教育出版社，1992.

[2]钟玉泉.复变函数论[M].北京：高等教育出版社，1988.

[3]楊巧林.复变函数与积分变换[M].北京：机械工业出版社，2013.