☉江苏省宿迁市沭阳如东实验学校 王春梅

近读《中学数学（初中版）》“试题研究”栏目，有多篇最新考题研究的文章不满足于解法探讨，有对原有解法的改进与优化，还有针对考题跟进的教学设计或教学微设计.这些考题研究的视角对笔者较有启发.本文也结合一道考题及网上传播的繁杂解法，给出自己的商榷意见和教学建议，供研讨.

一、考题及思路突破

考题：（2018年江苏镇江卷，第28题，有删减）如图1，二次函数y=x2-3x的图像经过O（0，0）、A（4，4）、B（3，0）三点，以点O为位似中心，在y轴的右侧将△OAB按相似比2∶1放大，得到△OA′B′.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像经过O、A′、B′三点.点P（m，n）在二次函数y=x2-3x的图像上，m≠0，直线OP与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像交于点Q（异于点O）.

（1）连接AP，若2AP＞OQ，求m的取值范围.

（2）当点Q在第一象限内时，过点Q作QQ′平行于x轴，与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像交于另一点Q′，与二次函数y=x2-3x的图像交于点M、N（M在N的左侧），直线OQ′与二次函数y=x2-3x的图像交于点P′.若△Q′P′M△QB′N，求线段NQ的长.

“网传解答”：先概述网上传播的一种解题思路.

（1）构造图1分析，由位似性质得出A′（8，8）、B′（6，0），将O（0，0）、A′（8，8）、B′（6，0）代入y=ax2+bx+c，利用待定系数法求解，即可得y=x2-3x.

图1

由P（m，n）在抛物线y=x2-3x上，可设点P（m，m2-3m）.根据待定系数法，易求得直线OP的解析式为y=（m-3）x，继而可求得Q（2m，2m2-6m）.过点P作PC⊥x轴于点C，过点Q作QD⊥x轴于点D，可证出△OCP △ODQ，可得OQ=2OP，然后根据2AP＞OQ，可得AP＞OP.再用含m的式子表示出列 出 关 于 m 的 不 等 式，化简得m2-2m-4＜0，解得1-＜m＜1+.另，由题意知点Q与原点O不重合，所以m≠0.

（2）根据题意，构造图2分析.

图2

同样设P（m，m2-3m），根据（1）中已有进展或经验，可得出Q（2m，2m2-6m）.结合点Q在第一象限，可得m＞3.

根据直线QQ′平行于x轴，则点Q、Q′所在直线的纵坐标都是2m2-6m.

解法商榷：上述解法虽然也获得了思路的贯通，但是解题过程中，涉及很多“超标”方程与不等式的求解，这都是影响问题进展的关键步骤（比如，第（1）问的求解进程中涉及关于m的不等式；第（2）问中涉及关于m的方程即使少数优秀学生选择上述解法，也很有可能会造成“隐性失分”的处境，即虽然这两个小问解决或部分解决，但是考试用时（时间成本）太多，造成其余试题的“会而不对”或“对而不全”，也就是造成“隐性失分”.以下就给出其他解法，供研讨.

解：（1）盯住条件“2AP＞OQ”，结合“位似”的性质先分析出OQ=2OP，于是条件“2AP＞OQ”转化为“AP＞OP”.先找出它们相等的情形，即先分析出“AP=OP”时对应的m的值，再数形结合地分析出m的取值范围.这样只要作出线段OA的垂直平分线（先求出它的解析式为y=-x+4）.将y=-x+4与抛物线的解析式y=x2-3x联立，解出m=1-或m=1+，于是1-＜m＜1+，且m≠0.

（2）充分利用上面图2中对称的性质，同样设P（m，m2-3m），分析出Q（2m，2m2-6m），结合点Q′与点Q关于直线x=3对称，可得点Q′的横坐标为6-2m；接着需要确认B′Q=2P′Q′，代入相似条件带来的比例式得出QN=2Q′M，这时两个相似三角形的相似比为1∶2，于是可设Q′M=n，则QN=2n，于是用含m、n的式子分别表示出点M、N的横坐标依次为6-2m+n、2m-2n，这时根据点M、N关于直线x=对称，可得方程（6-2m+n）+（2m-2n）=2×，解得n=3，于是QN=6，问题获解.

二、围绕该考题的解题教学建议

1.教师要善于对比不同解法，追求简洁和不断优化思路

教师在面对一道新中考题（特别是本地区的中考压轴题、把关题）时，不宜先看答案，因为有些解答（特别是网传解答）往往个性化成分多，有些甚至是“超标”的、繁杂的、有思维回路的，教师在独立思考，获得思路贯通之后，再去对比不同解答，比较它们的不同，追求简洁的表达，更自然的解题念头，更直观的解法展示，让更多的学生依赖基本数学概念、定义、重要定理就能想清、想透.

2.教师要站在学生立场思考，想清辨明难点与关键步骤

在预设解题教学时，“理解学生”（即章建跃博士倡导的“三个理解”之一）是更重要的，如学生已有哪些解题经验，可以从哪些角度突破关键一步，哪些解题念头对所教学生是自然的、可行的，等等.比如，上文考题中两条抛物线关于原点也是位似形是一个基本背景，在教学时，如果学生以前对“抛物线都是相似的”这一性质就没关注过，就需要做适当的拓展，这样学生在思路获得、难点转化时就会有较好的“题感”.再如，学生在解考题最后一问缺少必要的思路时，要启发他们结合抛物线的对称性质，找出对称点，想清哪些点关于对称轴对称，梳理之后，往往就能获得一些数量关系、构造出方程求解.

3.注重较难题的讲评突破，通过铺垫式问题促进思考

较难题（像上文中的压轴题）讲评前需要想清辨明解题的主要障碍、预设学生可能的理解障碍、关键步骤如何更加自然获得，这样就可以在这些难点或关键步骤之处预设一些铺垫式问题，帮助学生自主获得思路贯通.比如，第（1）问中对于条件“2AP＞OQ”的解读就是关键一步，网传解答运算量过大、方法不当，也可看成对这个条件的解读不到位，我们可以预设如下一些铺垫式问题：

铺垫问题1：根据前面的解题经验，OP与OQ有怎样的数量关系？如何演算？（预设OQ=2OP，这样就可把条件“2AP＞OQ”转化为“AP＞OP”）

铺垫问题2：从分析“AP＞OP”对应的不等式来看，我们也可以先思考“AP=OP”时对应的m的值，同学们思考，在什么情况下，AP=OP？（预设作出线段OA的垂直平分线，并安排学生求出它的解析式y=-x+4）

铺垫问题3：求出它的解析式为y=-x+4有什么作用？（预设学生应该会想到将y=-x+4与抛物线的解析式y=x2-3x联立，解出m=1-或1+，再数形结合地分析取值范围）

三、写在后面

中考压轴题的解题研究是很多老师的兴趣，特别是对本地区的考题研究，我们见到的很多考题解答却多是“网传”“不规范”解答，很少能见到像 高考试卷那样试卷与评分标准一样的“官方版本”，期待更多的命题专家能多多写出这些较难题的命题设计与立意，既对解题研究有一定的导向，对广大备考师生也是一种很好的教学导向.我们上面的思路商榷与教学建议也是个性化成分多，期待批判研讨.