☉安徽省南陵县城东实验学校 邹守文

一、试题及出处

2018年安徽中考数学压轴题是：

如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E，点M为BD的中点，CM的延长线交AB于点F.

（1）求证：CM=EM；

（2）若∠BAC=50°，求∠EMF的大小；

（3）如图2，若△DAE △CEM，点N为CM的中点，求证：AN∥EM.

图1

图2

二、试题特色解读

此题作为中考压轴题，起点低，坡度缓，区分度较好，能切实发挥压轴题的作用，具有以下特色：

1.以三角形为载体，实现对逻辑推理能力的有效考查

《普通高中数学课程标准（2017年版）》对核心素养的阐述：数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用过程中逐步形成和发展的.一般包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析.数学核心素养在中考试题中有一定的体现是自然的，也是顺应高中学习所必须的.

题目以直角三角形为依托，以其性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”和“在直角三角形中，30°角所对直角边是斜边的一半”为知识的生长点，题目设置三个小问，层层深入，逐步递进.第（1）问证明CM=EM，直接考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，这样设问既能实施对学生核心知识“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”的精准考查，也为后面问题的解决提供了思维的走向.第（2）问沿用第（1）问的结论，附加条件：若∠BAC=50°，求∠EMF的大小，将边的关系转化为角的关系，根据“等边对等角”和三角形内角和定理的推论得到解决.所涉及的知识都是初中数学的核心知识，涉及的逻辑推理能力也是学生必须掌握且能灵活运用的.第（3）问在前两问的基础上增加条件：若△DAE△CEM，点N为CM的中点，求证：AN∥EM，对逻辑推理能力的要求上升了一个台阶，这样处理，知识和能力并重，素养与技能兼顾，具有很好的区分度，能发挥一定的选拔和区分的功能.尽管如此，所涉及的知识点：等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定、相似三角形的判定与性质等都是初中几何的核心知识，而且上述所有知识只有相似三角形是九年级的内容，其他都是七、八年级的内容，学生比较熟悉，运用起来得心应手，但综合起来灵活运用又对学生的逻辑推理能力提出了更高的要求.

2.以问题解决的开放性和多样性为突破口，体现学生逻辑推理能力的深刻性和层次性

本题第（1）和（2）问对相关知识实施精准的、有效的考查，第（3）问平行的证明具有解题方法的开放性和多样性，能够很好地反映学生思维的层次和高度.根据执果索因的方法分析，需要证明AC=AM，可以证明∠ACM=∠AMC=75°（解法2），也可以通过计算得到AC=AM（解法8），可以构造全等三角形证明AN⊥CM（解法3、4），可以构造相似三角形证明AN∥EM（解法1、6、7），还可以通过计算∠NAR=30°（解法5），或通过构造三角形中位线（解法9）等多种方法.

三、试题多解，新解挖掘

本题的第（1）和（2）问比较简单，问题（3）解法多样.为了便于厘清解题思维，故给出第（1）和（2）问的解决过程.

命题者所给的参考答案如下：

（1）在Rt△BCD中，∠BCD=90°，M为斜边BD的中点，所以CM=BD.

所以CM=EM.

（2）∠CBA=90°-50°=40°.

由（1）知CM=BM=EM，所以∠CME=∠CMD+∠DME=2（∠CBM+∠ABM）=2∠CBA=80°.

因此∠EMF=180°-∠CME=100°.

（3）由△DAE △CEM，得∠CME=∠DEA=90°，DE=CM，AE=EM.

又CM=DM=EM，所以DM=DE=EM.所以△DEM为等边三角形.

所以∠MEF=∠MBF=30°.

解法1：在Rt△EMF中，∠EMF=90°，∠MEF=30°，所以

又∠AFN=∠EFM，所以△ANF △EMF.所以∠ANF=∠EMF.故AN∥EM.

解法2：连接AM，则∠EAM=∠EMA=∠MEF=15°.

所以∠AMC=∠EMC-∠EMA=75° ①.

又∠CMD=∠EMC-∠EMD=30°，且MC=MD，所以

由①②可知AC=AM.又N为CM的中点，所以AN⊥CM.

又EM⊥CM，故AN∥EM.

本题的第（1）和（2）问是比较简单的，难点在于第（3）问，经研究得到以下解法：

图3

图4

解法3：（构造全等三角形）如图4，过点B作BG⊥CF交CF的延长线于点G.

因为∠MBC=∠MCB=15°，所以∠CBG=∠ACN=75°.

又因为EM⊥CM，所以AN∥EM.

解法4：（构造全等三角形）如图5，过C作CH⊥BD于点H.

又因为EM⊥CM，所以AN∥EM.

图5

图6

解法5：（直接计算法）如图6，过N作NR⊥AB于点B.

又因为∠MEF=30°，所以∠MEF=∠NAR.故AN∥EM.

解法6：（构造相似三角形）设AE=a，则EM=CM=a.

解法7：（构造相似三角形）如图7，过D作DK⊥CF于点K.

又因为∠DCM=∠MCA，所以△MCD △ACM.

因为∠MCD=∠MDC=75°，所以∠AMC=∠ACM=75°.

所以AC=AM.

因为N为CM的中点，所以AN⊥CM.

又因为EM⊥CM，故AN∥CM.

图7

图8

解法8：（构造等腰三角形）如图8，延长ED和BC交于点H，过M作MG⊥AB于点G.

于是AM=AC.

又因为N为CM的中点，所以AN⊥CM.又因为EM⊥CM，故AN∥CM.

解法9：（构造三角形中位线）如图9，过C作直线l∥AB，延长AN、EM分别交l于点P、Q，则∠QCM=∠EFM.

在△CMQ和△FME中，∠QCM=∠EFM，∠CMQ=∠FME，所以△CMQ△FME.

图9

同理，△CNP △FNA.

设BF=x，则FM=x.

又因为N为CM的中点，所以PN为△CMQ的中位线.所以PN∥MQ，所以AN∥EM.

四、教学建议

《全日制义务教育数学课程标准（修改稿）》指出“数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法.”在课堂教学活动中，要重视独立思考、逻辑推理能力的培养，不要盲目追求题量，要注重引导学生经历知识的发生、发展过程，以及问题的发现、提出、分析和解决的全过程，充分挖掘典型问题的内在价值与迁移功能，培养学生思维的灵活性与创新性.

要重视对问题的归纳总结，形成模型，如“手拉手”模型，“一线三等角”模型，利用轴对称求最小值模型，ma+bn型最值求解模型，“胡不归”模型，构造阿波罗尼斯圆求最值模型等，通过模型的构建获得一类问题解决的“套路”，形成一定的数学建模能力.比如第（3）问就有构造等腰三角形模型，构建三角形中位线模型，构建全等三角形和相似三角形模型等，只要掌握了任何一个模型的“套路”，顺藤摸瓜都可以解决问题.