☉江苏省如皋市实验初中 胡宏权

近年，二次函数的图像在某一区间（定区间或动区间）取得最值的探究问题比较流行，不少地区都将其作为把关位置的压轴题来承担试卷区分功能.为了做好这类问题的备考复习，笔者搜集了大量类似的考题，并精心构思了一节“区间求最值”专题复习课，本文整理出来，并跟进教学思考.

一、“区间求最值”专题复习课教学流程

说明：这是一节二次函数的图像在某区间的最值探究问题的专题复习，素材改编自最近三年一些地区的中考试卷.

典型问题（一） “定”抛物线与“定”区间的最值问题

例1 已知二次函数y＝（x＋1）2-5.

（1）当1≤x≤3时，分析二次函数y＝（x+1）2-5的最大值与最小值；

（2）当-5≤x≤-2时，分析二次函数y＝（x+1）2-5的最大值与最小值；

（3）当-3≤x≤0时，分析二次函数y＝（x+1）2-5的最大值与最小值.

教学组织：学生在练习第（1）问时如果只是“简单化”地把x＝1、x＝3分别代入二次函数求出最小值、最大值，教师需要追问“你这样做的依据是什么”，待学生结合抛物线的增减性解释后才能确认，并要求学生画图说明清楚.特别是“数形结合”的分析对于第（2）问和第（3）问的解答很有帮助.

典型问题（二） “动”抛物线与“定”区间的最值问题

例2在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2-2（k-1）x＋k2-k（k为常数）.若将该抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值-，求k的值.

教学组织：这是2018年江苏南通中考卷第26题第（3）问，有一定的难度，教学时可预设如下一些铺垫式问题.

问题1：将原抛物线配方成“顶点式”；设：抛物线

问题2：分析平移后得到的新抛物线的顶点坐标（用含k的代数式表示）；设：平移后的解析式为y＝（x-k）2-

追问：新抛物线的对称轴是什么？它的顶点在一条直线上吗？设：该抛物线的对称轴为直线x＝k，它的顶点在直线

在以上三个问题的铺垫之下，学生就可进入分类讨论，讨论新抛物线的对称轴x＝k与x＝1、x＝2的位置关系.

综上所述，k＝1或k＝3.

同类训练：关于x的二次函数y＝x2＋（1-a）x＋1，当x的取值范围是1≤x≤3时，y在x＝1时取得最大值，分析实数a的取值范围.

预设讲评：问题本质上是“动图像定区间”问题.如图1，被直线x＝1、x＝3夹住的抛物线就是一种可能的情形，此时对称轴为直线

接着分析对称轴向右平移（如图2、图3），y在x＝1时仍然取得最大值，也就是说，对称轴为直线≥2，解得a≥5.

图1

图2

图3

典型问题（三） “定”抛物线与“动”区间的最值问题

例3二次函数y＝（x＋1）2-5，当m≤x≤n，且mn＜0时，y的最小值是2m，最大值是2n，则m+n＝_____.

教学组织：抛物线是确定的（固定的），结合“当m≤x≤n，且mn＜0时”，减少了分类讨论的情况，只要需考虑直线x＝m与对称轴x＝-1的位置关系.

典型问题（四） “动”抛物线与“动”区间的最值问题

教学组织：先将抛物线的解析式化为顶点式：y＝-（x-m）2+2m-5.接下来分三种情况考虑：

m＞2m-2，2m-5≤m≤2m-2，m＜2m-5.

过程略.

点睛：本题考查了二次函数解析式的三种形式、二次函数图像上点的坐标特征、解一元二次方程及二次函数的最值，解题的关键是：利用配方法将二次函数的解析式变形为顶点式；分三种情况考虑.

同类再练：已知二次函数y＝x2＋mx＋m2（m为常数），3m＋4＜0，当x满足m≤x≤m＋2时，y有最小值13，求此时二次函数的解析式.

预设解答：分析出抛物线的对称轴一定在直线x＝m+2的右侧，再结合增减性分析.

二、教学思考

1.专题复习课应突出和聚焦复习主题

中考复习或习题讲评常常是主题松散、不够聚焦，这也和选题、选资料所花时间和精力有关，有时遇到一道特别欣赏的试题可能就会选入相应的学案或试卷进行训练与讲评，但缺少必要的整合与整体构思.我们认为，中考复习既要关注初中阶段各个知识点的梳理以便达到清查盲区的目的，同时在专题复习时要注意关注本地区中考命题的风格，对于本地区中考高频考题需要重点突破、多角度讲评.比如，二次函数的图像与定区间（动区间）的探究问题就是值得关注的一类高频习题，很多地区都将其作为中考必考知识点.与平时零散遇到一些相关试题的训练与讲评相比，在中考复习阶段要注意开展主题复习，由浅及深，对不同类型的区间最值问题进行归类研究、对比讲评，帮助学生辨明类型、学会解题.

2.讲评较难习题时要预设铺垫式问题

研读《中学数学（初中版）》近两年的一些中考微专题课例的一个体会是，这些课例在处理较难试题的思路讲解时，都比较注意预设铺垫式问题，这对我们一线教师很有启示作用.如果缺少这些铺垫式问题的热身、启发作用，学生往往很难直接听懂较难题的思路是如何生成的，有时莫名其妙的一条辅助线从何而来，一个方程或算式是怎样突然“从天而降”的，往往感到是意料之外.如果注意设计出一些铺垫式问题，有时随着讲评和解决这些热身问题，往往学生就能独立获得较难题的思路，不需要再讲解较难题了，我们也就追求了“教，是为了不教”的教学境界.

3.讲后跟进同类变式再练以巩固效果

为了有效反馈讲评效果，在讲解一些较难试题之后，设计一些同类变式问题进行再练是非常有必要的教学举措.从各地中考试题命题现状来看，90%的试题基本上都是学生曾练习过的“原题”（或者简单改编数据、字母，而且多数改编自教材例、习题），所以，当前中考复习的目标简单一点说，只要学生把教材上例、习题都练习过关，就应该达到或接近满分90%的考试目标.这就说明，复习题量不必追求太多，而要追求练习之后的达成率、巩固率，所以讲评一些较难试题后，跟进同类变式问题就得到很多一线教师的认可.当然，难点在于有时找不到类似的问题，或者高度相似的同类题，这时教师可以对所讲评试题进行简单的变式，让学生再练、巩固.从这个意义上说，有一定的命题基本功也是教师应该修炼的重要能力之一.