☉江苏省南京市鼓楼实验中学 刘春桃

一、问题提出背景

在初中数学学科教学过程中，我们发现很多学生在上课时能够完全听懂课程的内容，可当让他们进行习题练习时，却又会无从下手.事实上，学生感觉解题困难有时候并不是因为数学题目本身非常难，而是因为每个学生在阅读题目、分析题目、思考题目和求解题目过程中所表现出的数学思维和数学能力具有显著的差异.在教学实践中，如何帮助学生有效地消除这种差异性，帮助他们更好地学习数学，是每一位一线数学教师必须思考的重点问题.

二、问题转化本质和学生障碍分析

数学中问题转化的思想，是一种化归思想，也是我们在解决数学问题过程中常用的一种分析法.简单来说，问题转化是一种思维方法，就是将一个生疏、复杂的问题转化为熟知、简单的问题处理，从而实现化繁为简、化难为易、化抽象为具体的目的.我仔细分析了学生普遍认为比较难的一些试题，发现这些题并非想象中那么难，它们都可以通过问题转化来解决.学生思维产生障碍的根源在于：审题能力、深层次分析问题能力欠缺；对实际问题应对能力不够，不会把问题进行转化、变通；缺乏对数学本质问题的理解.

例1陈老师要为他家的长方形餐厅（如图1）选择一张餐桌，并且想按如下要求摆放：餐桌一侧靠墙，靠墙对面的桌边留出宽度不小于80cm的通道，另两边各留出宽度不小于60cm的通道.那么在下面四张餐桌中，其大小规格符合要求的餐桌编号是________（把符合要求的编号都写上）.

图1

分析：此题主要考查视图与投影知识的实际应用，但学生在答题过程中表现出来的两大思维障碍是：难以把空间图形转化为平面图形，以及把实际问题转化为数学问题.

例2已知线段BD上一动点C，过点B和D分别作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x.

（1）求AC+CE；

（2）当C点在什么位置时，AC+CE的值最小？

分析：笔者对八年级50名学生进行调查研究，结果发现：

表1

调查结果说明，在数形结合思想的运用过程中，学生感觉将“形”的问题转化为“数“的问题比较容易，将“数”的问题转化为“形“的问题则比较困难.也就是说，学生比较容易接受将“图形语言”转化为“符号语言”，而难以想象将“符号语言”转化为“图形语言”.究其原因，是因为学生对于数学式子本质含义缺乏深刻的理解，同时代表了学生数学建模能力的缺乏.

三、数学问题转化途径

在“问题转化”的过程中，将复杂的问题简单化、困难的问题容易化、抽象的问题具体化、陌生的问题熟悉化，其关键在于寻找到合适的转化路径.在解题过程中，我们往往会运用到联想转化和类比转化两种转化思想.

1.联想转化

在解题过程中，我们常常运用的数形结合思想，就是一种联想转化思想，将“数”与“形”结合起来，通过寻找几何关系和代数关系的结合点，解决数学问题.联想转化的思想，可以将抽象的问题具体化、复杂的问题简单化、困难的问题容易化，从而帮助学生更简便地求解答案.在数学中，我们常常通过将代数问题转化为几何问题、几何问题转化为代数问题、函数问题转化为方程问题、方程问题转化为函数问题进行求解.

2.类比转化

在初中数学教学中，有很多数学概念或数学定理可以采取类比的方式进行教与学.对数学知识和数学方法的迁移，都可以称为类比的思想.利用类比转化思想，我们可以将空间图形转化为平面图形，降低空间维度；可以将简单的高次方程转化为一元一次或一元二次方程进行求解，降低方程阶次；可以运用全等三角形性质及判定方法研究相似三角形的性质及判定方法；可以运用正方形性质研究矩形、菱形、平行四边形的性质及定理；可以运用直线与圆的位置关系研究圆与圆的位置关系；可以将多边形问题转化为三角形问题进行求解.

例3如图2，甲、乙、丙三人分别从A点运动到B点，其运动方向如箭头所示，其中，E为线段AB的中点，AH＞HB，则三人运动路线长度大小关系可表示为（ ）.

A.甲＜乙＜丙 B.乙＜丙＜甲

C.丙＜乙＜甲 D.甲=乙=丙

图2

分析：如图2，六边形问题转化为三角形问题.利用类比转化的思想，可以让学生通过知识的迁移实现对题目的求解.在教学中对学生这种转化思维的培养，对于学生正确求解题目能力的提高具有极为重要的作用.

四、问题转化思想的推广

问题转化思想是学生求解复杂、困难问题时一种非常有力的数学工具.在求解题目的过程中，倘若学生能够熟练掌握这种数学工具，并能灵活运用，可提高学生的数学成绩，培养数学思维.在初中数学教学中，我们可以通过引导学生进行数学建模，将一些实际生活问题转化为数学问题进行分析，逐步锻炼学生的数学建模能力.

例4某大学学生会主席竞选，A、B、C参与了笔试和口试两轮考试，对其考试结果进行统计，可以用表和图的形式表示，分别如表2和图3所示.

（1）请将表2和图3中的空缺部分补充完整.

（2）在学生会主席竞选过程中，参与竞选的学生经过笔试和口试两轮比赛后，由本院系的300名学生对他们进行投票，投票结果如图4所示，请根据图中比例计算出三位候选人的得票数.

（3）假设竞选的最终成绩是按照4∶3∶3的比例对笔试、口试和投票分数进行计算的，那么三位候选人的最终成绩分别是多少？谁能当选学生会主席？

表2

图3

图4

分析：（1）表与图相互转化；

（2）图和数相互转化：

（3）概率统计和方程问题可以相互转化.

五、问题转化能力的培养策略

通过对以上试题的调查、研究与分析，作为一名数学教师，我深深地感受到了问题转化思想的重要性.在解题过程中，学生的问题转化能力越强，正确率也就越高.那么，在日常的教学中，我们该如何培养学生的问题转化能力呢？

1.创设问题转化的研究氛围

在初中数学课堂教学中，我们应尊重学生在解题过程中的各种思维和想法，要积极为学生创设问题转化的研究氛围，让学生通过主动思考、自主探究体验问题转化思想的具体应用，从中领悟和掌握问题转化的有效路径.

2.重视学生的数学思维过程

在日常教学中，我们往往通过课堂提问、当堂训练、课后作业等多种途径训练学生的数学思维，但在教学实践过程中，我们会忽略学生得出答案或结论的一种数学思维过程，导致学生探究程度不够，只会一味地接受教师给出的答案，甚至只会机械地模仿套路与模式.为此，教师应充分认识到让学生积极思考的重要性，要给予学生足够的时间和机会去思考、去探究，这样的思维训练才是有效的，才能真正促进学生思维能力的提升.

3.指导学生掌握问题探索的方法

对于数学问题的求解，我们往往会运用到正向思维、逆向思维和发散思维三种方法，其中，正向思维法是根据题目中的已知条件直接推导出结论，是一种比较常用的思维方法；逆向思维法是从题目中的问题入手，思考要得出结论，需要什么样的条件，而需要这样的条件，又如何才能得到，这也是寻求解决问题的一种数学思维方法；发散法是从题目的一个已知条件或一个关键信息出发，进行多角度、多形式的引申与发散，从而使得当前的问题变成一个新的问题的思维方法.

例5 在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，其中，E为线段BC上一点，且△ABC与以C、D、E为顶点的三角形相似.

（1）若BC=8，AB=3，DC=4，求BE的长；

（3）若BC=6，AB=3，DC=4，求BE的长；

（4）请对（1）、（2）、（3）中结果的原因进行分析.

分析：根据已知条件，我们可以假设BE=x，利用列比例式将几何问题转化为代数问题，进一步将代数问题转化为方程问题.

第（4）题考查学生的发散性思维水平，分析在第（1）、（2）、（3）题中，为什么会有两种情况及当满足什么条件时，答案会有1个、2个甚至3个，利用图形语言进行描述表达得非常清晰，将“数、式”的问题转化为“形”的问题，可以快速帮助学生求解该题.

在本题的求解过程中，运用了创造发散、迁移发散、条件发散等思维方法.在教学过程中，可以重点对学生的数学思维方式进行有效训练，让学生在探究数学问题的过程中，养成勤于思考、乐于思考、勇于探索的良好习惯，同时通过引导学生认真观察、迁移运用、自我反思、思维创新，学会问题的合理转化.

六、结束语

求解数学问题的过程就是一个不断进行问题转化的过程，不断将复杂的问题转化为简单的问题，将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题.数学问题之间各个条件之间的相互关系，决定了问题转化的路径和方法.因此，在日常教学中，要引导学生对数学问题的内部联系进行分析，要给予学生充足的时间和平台，让他们自主思考和探究，从而探寻到简便、快捷的问题转化方法，从而促进学生问题转化能力的提升.