李喆裕 崔同勤 刘万

摘 要： Bézier曲线在计算机辅助绘图具有广泛的应用，普通的Bézier曲线仅经过起始两点，对于需要通过某一确定点的情况则需要大量计算才能确定其控制点，针对这一问题，利用Hermite多项式插值，运用承袭法构造参数方程，得到一种既能通过起始两点，也能通过任意指定点的光滑曲线。

關键词： Bézier曲线；Hermite多项式插值；计算机辅助绘图

0 引言

计算机辅助绘图目前有着广泛应用，已成为计算机辅助设计的基础。Bézier曲线已经在计算机辅助绘图中大量应用，是计算机辅助绘图中应用的最多的基本线条之一，对于普通的Bézier曲线，其经过起始两点，并通过不同的控制点，以控制曲线走向，但不经过控制点。在绘图者希望曲线经过特定点时，需要进行计算才能确定Bézier曲线的控制点，这样就加大了绘图者的运算量。针对这一问题，本文提出了可经过任意指定点的曲线。

本文以A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3） 和D（x4，y4）四点来控制曲线为例，说明曲线的确定过程。其中A为曲线的起点，D为曲线的终点，B和C为控制点。曲线在起点A处，以AB方向为切线方向，在终点D处，以CD方向为切线方向

1. Bézier曲线

1.1 Bézier曲线的建立

构造的曲线不需要经过所有的点，在起点和终点确定之后，通过选取一些控制点，由这些控制点来调整曲线的变动情况，这就是Bézier曲线。[1]

三阶Bézier曲线的一般方程为

………………..（1）[2]

将Bézier曲线的方程参数化，三阶Bézier曲线必为三次方程，将其系数替换后，得到方程（2）

………………..（2）

2.2 Hermite多项式插值曲线绘制

若假设四个点为A（1，1），B（1，3），C（3，3） 和D（2，2）代入参数方程中。得到参数方程（3）