周锐

摘要：微积分是数学的一个分支，在数学史上占有重要地位。本文根据时间进程阐述了微积分的发展史及其简要应用。

关键词：微积分;发展史;牛顿;莱布尼兹

微积分是数学中的基础学科，也是近现代数学中的重要基石和起点。它在物理、化学、生物等自然学科中被普遍利用，在社会、经济、人文等范畴也是重要的研究工具之一。

本文将沿着微积分学的发展时间历程，简要论述微积分的发展史。

一、微积分的萌芽之初

微积分学发展得最早的是积分学的思想，可以追溯到古希腊时期[1]。其中做出重要贡献的有古希腊数学家芝诺提出的四大悖论。古希腊哲学家德谟克利特斯的原子论则充分体现了近代积分的思想，他认为任意事物都是由原子构成。古希腊诡辩家安提丰提出的“穷竭法”是极限理论最早的表现形式。古希腊数学家欧多克斯进一步研究原子论和穷竭法，使这两个理论得以稳健前进。古希腊著名数学家阿基米德所提出的“平衡法”实质上是一种较原始的“积分法”。他在著作《抛物线求积法》一书中运用穷竭法求出了抛物线构成的弓形的面积。

二、微积分创立之前的酝酿

由于种种影响，微积分的概念在15世纪之前一直处于萌芽阶段[2]。推动欧洲崛起的新航路开辟和文艺复兴是15世纪的大事件。从14世纪到16世纪的文艺复兴在意大利各城市兴起，之后推广到西欧各国，带来了一场关于科学与艺术的革命。随着文艺复兴的兴起，生产的发展带动了科学的发展。与此同时希腊的著作大量进入欧洲，随着活板印刷的发明，知识的传播更加迅速，自然学科开始活跃，自然学科中的数学得以有进一步发展的机会。在时代背景下，数学成为唯一被公认的真理得以推广。

天文学、光学、力学等自然学科的发展被生产力的发展所推动，为数学带来了大量的研究问题[3]，许多学者开始考虑研究微积分的思想[4]。

开普勒是德国杰出的天文学家、物理学家、数学家和哲学家。他在《测量酒桶的新立体几何》一书中主要对如何求解旋转体体积的方法进行研究。他在研究过程中引入了无穷大和无穷小的概念，把旋转体的体积分成若干极小的部分，得出一种“无限小元素法”，利用这个方法他求出了近百种旋转体的体积。

笛卡尔是著名的法国哲学家、数学家、物理学家。他将几何坐标这一体系进行公式化，大家公認为他是解析几何之父。他在1637年完成的《几何学》一书中创建了解析几何学，他打破了自古希腊以来代数和几何分离的状态被改变，他把无关的“代数”与“几何形式”统一起来，使得几何曲线与代数方程得以结合。在书中提到用代数的方法求切线，这一天马行空的见解为微积分的创建埋下基础的种子，等待日后的萌芽成长。他的见解实现了数学史的飞跃，开拓了变量数学的发展空间。

帕斯卡是法国著名数学家、物理学家，他从无穷小分析的基础上进一步研究不可分原理，由此得到求任一曲线所围面积及重心的一般方法，利用积分学的原理解决了困扰已久的摆线问题。费马在他的研究中注意到很小的弧与切线是可以互相代替的。这一观点对莱布尼兹创立微积分学有很大启发。

三、微积分理论的创立

牛顿用物理学的角度研究微积分。1665年5月，首次提出了“流数术”的概念。流数即微商。牛顿认为任何运动都在空间中进行，且与时间紧密相关。他将连续变量称为“流动量”，那么流动量的导数是“流动率”。他在《流数术》一书中研究的问题是：“已知某些量之间的关系，算出它们的流数，以及反过来的计算;已知物体做连续运动的路程，确定某一时间的速度;已知物体运动的速度，确定某一时间段内的路程。”这一问题的研究使牛顿超过了所有的微积分先驱者。其中他在流数术中的他完整地指出微分与积分互为逆运算，并把求切线和求面积之间的互逆关系从巴罗提出的纯几何形式推广到代数形式，这个公式现在成为微积分基本定理。莱布尼兹不同于牛顿从运动学的角度研究微积分，他是从几何学的角度去思考，他创造的微积分符号要优于牛顿，促进了微积分的发展。

四、微积分理论的完善

自十七世纪以来，微积分的概念被广泛用于解决天文学、力学、物理学中各种实际问题。牛顿和莱布尼兹在无穷和无穷小量的问题上十分含糊，因此就微积分的基础是否稳固爆发了一场大争论。许多数学家在微积分基础不严密的情况下创立了许多辉煌成就。

欧拉用微积分的概念和技巧解决了大量天文学、物理学、力学等问题，开创了无穷级数、微分方程、变分学等诸多学科。他出版的《无限小分析引论》以及紧接着发表的《微分学》和《积分学》中都引进了一类标准符号。例如：函数符号、求和符号、自然对数底数、虚数符号等等。对微积分的分析表达的规范起重要作用。

勒让德提出的椭圆函数论，是在麦克劳林和达朗贝尔研究过的可以用椭圆和双曲线的弧表示的积分的基础上。还有拉普拉斯、傅里叶等许多大数学家在分析学上都有巨大贡献，但微积分学的基础问题却没有找到解决办法。对于数学分析是否严密的问题一直留在那里。

为了微积分自身的发展和完善，在十九世纪许多数学家开始重新考虑微积分的逻辑基础和严密性，取得了重要成果。例如波尔查诺将连续函数的意义建立在极限概念上，并举出了处处不可微函数的例子。

法国著名的数学家柯西在分析基础、常微分方程、单复变函数等方面有卓越成就，他是极限理论即微积分的真正理论基础的创建者。他在《分析教程》和《无限小计算教程概论》中，将严格化作为目标，给出了微积分基本概念例如变量、极限、连续性、导数、微分等的明确定义以及相关证明，建立了极限理论。

维尔斯特拉斯使极限理论成为微积分的基础。从而使微积分进一步发展。黎曼认为可积函数不一定是连续的，还指出了不连续函数的积分。他建立了黎曼积分的概念，给出了它存在的充要条件。法国数学家勒贝格在定义积分的时候采取划分值域的办法，使积分归结为测度，从而突破黎曼积分的局限性，进一步发展积分理论。

参考文献：

[1]祁卫红、罗彩玲，微积分的产生与发展[J].山西广播电视大学学报，2003.2.103-104

[2]李涛，漫谈微积分的产生与发展[J].数学史话，2006.2.40-41

[3]刘和义、刘旭浩，微积分发展简史[J].衡水学院学报，2005.7（1）.7-9

[4]朱燕麟，微积分历史上的两个重要发展阶段[J].江苏教育学院学报，2010.26（12）.26-27