董艳

【摘 要】定积分是微积分的核心概念之一，是微积分的重要组成部分。定积分的概念比较抽象，如何进行课堂设计是上好本节课的关键。本节课主要从求曲边梯形的面积，建立定积分符号的原因以及它的几何意义这三方面理解概念的，其中是以极限的思想为线索展开的，最后以一个哲学的道理加深对概念的理解。

【关键词】定积分；课堂设计；曲边梯形；几何意义；极限

前言

本节课的设计理念为：敢于提出问题、形象解决问题、用心感悟问题。通过学生预习探究环节提出问题；通过数形结合解决问题；通过学习数学知识体会到其中的哲学道理。设计特色：以学生预习探究引入， 提出理解概念的关键问题点，用数形结合的方法帮助学生解决问题，体会极限的重要作用，并从中体会数学的哲理，得出有益于学生的人生道理！

一、设计思想

教材分析：

定积分是微积分的核心概念之一，是微积分的重要组成部分；定积分的概念是定积分一切知识的源泉，对定积分概念的理解为后续有关它的计算和应用奠定基礎，因此学好本节课是非常重要的。有关定积分的知识，学生高中接触过，但是都是一些碎片化的知识，对它的了解只停留在简单的计算上，对概念的理解几乎是零。定积分的概念较长，也比较抽象，如何让学生理解概念的思想是上好本节课的关键。

学情分析：

学习对象：一年级的高职新生。学习对象基础概况：数学基础较为薄弱，比较注重形象思维，接受新知识能力较强。学习对象知识储备：曲边梯形的概念及面积计算。定积分的几何意义学习对象能力特征：具有一定归纳、概括、类比、抽象思维能力。学习对象情感态度：对定积分概念的理解有强烈的兴趣和求知欲。

二、教学目标及重难点分析

1.知识与技能目标

通过预习探究，提出理解定积分概念的关键点。通过解决问题，让学生在理解概念的同时，体会数形结合的数学思想和方法以及极限思想的重要性。 通过学习培养学生观察、分析、思考问题的能力，并深刻的理解数学问题的实质。

2.过程与方法目标

通过对预习问题的探究体会数学学习与哲学观点的结合并提高学生解决问题的能力。

3.教学重点

定积分概念的内容和对定积分概念的理解。

4.教学难点

对定积分概念的理解。重、难点突破措施：预习探究，问题引入，数形结合，以情动人、以理悟人，层层探究，哲学提升。

5.教学资源准备

具备使用多媒体上课的教室，PPT课件一份。

三、教学环节设计

本节课既然是学生高中接触过的内容，是否还有必要再学习！结合学生实际，通过以小组为单位进行预习探究，提出问题，此问题恰是理解概念的核心之处。在讲解概念时，从以下三方面展开：

1.通过把概念内容与求曲边梯形面积的过程进行比较，说明两者基本一致，显然课前的预习过程是为概念讲解做好铺垫。

2.通过对数学符号的认识来理解概念，明确建立符号的原因。

3.通过学生所熟悉的几何意义的回顾，从“形”的角度理解概念，形象生动，并对学生熟悉的内容设计一个课下思考题，加深学生对概念的理解，同时也说明了概念与求曲边梯形面积的细微区别。

通过课堂小结，在梳理内容的同时再次使重难点重现，本节课始终围绕一条线索从多方位展开，最后从理解概念的思想里悟出做事的一个道理，使得课堂主题得到升华！

四、教学设计

1.预习探究

（1）教学内容

①以一个学习小组同学预习上课内容，提出疑问作为本节课的引入。一：定积分既然是高中学过的内容，是否还有必要学习呢？二：从定积分的作用出发，列举一个与铁路有关的具体实例，明确知识点与专业领域的衔接点。三：虽然知道定积分的作用，但是它在解决这些实际问题中的思想是什么呢？四：用东汉末年曹冲称象的故事类比求曲边梯形面积的过程，其中最后一步学生不容易理解，从而提出疑问。②提出的问题正是理解概念的关键点。

（2）师生互动

①上一节课老师留下作业，要求学生以小组为单位预习本节课。②老师通过蓝墨云和QQ群发布课件，为学生预习提供依据。③老师要求学生将预习的视频和预习中遇到的问题通过蓝墨云和QQ群进行反馈，将表现好的小组视频课前给大家播放，并对每个小组的表现打分。

（3）设计思路

问题数学：以学生预习对话开头，提出问题，引起学生上课的兴趣，提高学生学习本节内容的积极性，学生带着问题走进课堂，激发学生求知欲，探索欲。同时“以已知探求未知”的数学思想方法，培养学生的动手操作能力、逻辑思维能力。

2.疑问解答

（1）教学内容

针对学生在预习中提出疑问，进行解释：

①λ的含义

②λ→0表示的意思

③极限最终实现了什么

④从极限的思想出发，点破理解问题的关键之处

（2）师生互动

通过对λ含义的分析，讨论，教师循序渐进，借助图形帮助学生理解极限的思想，并且将极限的思想上升为哲学领域，量变到质变的飞跃。

（3）设计思路

借助图形，帮助学生理解极限的思想，通俗易懂，并且将这个无限的过程用量变到质变来形容，将问题突破口打开。

3.概念讲解

（1）教学内容

①定积分的概念与求曲边梯形面积的关系

②定积分概念的内容

③定积分符号的由来

i等式两边存在一一对应关系

ii定积分符号比和式极限表示简单

iii它们用各自的方法计算出的结果一致

④定积分的概念注意事项

⑤定积分的几何意义

（2）师生互动

引导学生明确数学概念都是抛开诸多问题的实际背景，只抽取实际问题形式上的共同特性， 从而得出数学概念的。虽然概念比较长，但是可以借助求曲边梯形面积的过程理解其内容。

引导学生对建立定积分符号的原因也是理解概念的一个有效途径。

最后引导学生站在“形”的角度对概念进行理解，明确几何意义和概念之间的关系。

（3）设计思路

由于学生高中对这部分内容的学习都是碎片化的知识，如何让求曲边梯形的面积，以及它的几何意义合成一个整体是概念讲解中需要考虑的问题。从学生熟悉的定积分符号出发， 明确建立符号的原因，将为理解概念提供一个有效的渠道。

4.心得感悟

（1）教学内容

最后的课堂小结，既整合内容，又升华主题：

①本节课主要从求曲边梯形的面积，建立定积分符号的原因以及它的几何意义这三方面理解概念的。②在理解概念时，整个课堂主要抓住一个线索，就是极限的思想的理解，这也是理解概念的关键点。③极限的思想实现了由近似到精确的跨越，同时也实现了量变到质变的飞跃，它也是数学中“以直代曲”思想的根源。④定积分解决问题的思想也告诉我们一个道理：如果能将一个好的习惯坚持下去，永不停止，一定会有一个意想不到的结果出现。

（2）师生互动

通过最后的课堂小结，进行碎片整理，重點重现，强调了理解概念的关键点，并将主题升华为一个生活小道理，加深学生的印象。

（3）设计思路

学生通过课堂小结，进一步理解数学概念，要学好概念就要理解极限的思想，将极限的思想上升到哲学领域，并且告诉学生人生中一个道理，从而实现对本节课进行升华。

五、结语

本节课在教学设计中，紧紧围绕学生在高中学习定积分时未能解决的问题：即对概念的理解存在问题和知识的碎片化现象， 其实概念的内容和求曲边梯形面积的步骤基本一致，而求曲边梯形面积的过程学生是有所了解的，只是其中有一步没有理解清楚，因此本节课从关键的这一步出发，特设计预习探究，让学生在预习的过程中自己提出问题，并在课前进行疑难解答，在讲解概念时，自然水到渠成。

为了从数学符号的角度再次理解定义，因此从建立定积分符号的原因出发，对定义式进行解释，从而实现用数学语言理解定积分的目的。

【参考文献】

[1]岳忠玉.高等数学[M].西北大学出版社，2014

[2]吴赣昌.实用高等数学[M].中国人民大学出版社，2016

（基金项目：陕西高等教育教学改革研究项目基金（项目编号：17GY021））