杨思灶，夏长高

(江苏大学 汽车与交通工程学院， 江苏 镇江 212013)

拖拉机传动箱的齿轮系统是拖拉机传动系统的重要组成部分，拖拉机传动系统性能的好坏很大程度上取决于传动箱齿轮系。国内拖拉机传动箱齿轮系大多利用传统方法进行设计，即根据经验、公式估算等方法初选齿轮系各参数，再进行相关校核计算。这样设计的传动箱存在结构质量大、效率不高等问题。因此，进行拖拉机传动箱齿轮系的优化研究十分必要。国内不少研究人员对不同农机的传动箱进行了优化研究，

陈小亮[1]以轻量化为目标，对高速插秧机主变速箱的齿轮、轴和箱体的进行了优化设计。张奇巍[2]利用Matlab优化工具箱以体积最小为目标，对变速箱1挡齿轮副进行了优化。Yallamti Murali Mohan与R.C.Sanghvi等[3-4]利用多目标遗传算法对齿轮进行优化设计，降低了齿轮总质量。但是上述文献都没有考虑到优化后齿轮参数的变化可能会影响齿轮的啮合效率。由于拖拉机传动箱通常挡位数较多，且带有动力输出(PTO，power take off)机构，不同于通常的汽车变速箱，其传动齿轮系较复杂，使得动力从输入到输出之间需要通过多对齿轮的传递。由于每对啮合齿轮都有一定的效率损失，必将导致传动箱总效率的下降。所以，在齿轮系设计过程中提高每对啮合齿轮的啮合效率显得更加重要。同时，因为拖拉机传动箱的挡位数多、齿轮数多，齿轮在传动箱中的质量比重也比通常的汽车变速箱大。为此，本文以轻量化和高效传动为双目标建立拖拉机传动箱齿轮系的优化数学模型。

1 双目标优化模型

1.1 优化目标函数

由于拖拉机传动箱齿轮系具有齿轮数多、齿轮啮合对数多的特点，导致其结构质量大、啮合效率损失大。因此，齿轮系的总啮合效率与齿轮总质量有较大的优化空间，将其作为本文研究的两个优化目标。

1) 齿轮总体积的目标函数

在材料相同的情况下，齿轮的质量与体积相关，为了计算简便，可将齿轮体积作为目标函数。忽略齿形与轴孔，将齿轮视作一个圆柱，则

(1)

式中：V为齿轮系齿轮的总体积；bi为第i对齿轮副的齿宽；m为模数；zi1为第i对齿轮副主动齿轮的齿数；zi2为第i对齿轮副从动齿轮的齿数。

2) 齿轮系啮合效率的目标函数

忽略滚动摩擦功率损失、将滑动摩擦因数视为定值、忽略齿轮的加工误差和安装误差，则直齿轮的平均啮合效率公式为[5]

(2)

其中：

(3)

Q1=f-1+tanα

(4)

Q2=f-1-tanα

(5)

(6)

(7)

则齿轮系啮合效率的目标函数为

(8)

1.2 优化变量

根据上述分析，将各齿轮副齿轮的齿数zi1与zi2、模数m、压力角α、齿宽bi作为设计变量。从工艺方面考虑，各挡齿轮应该选用一种模数，而从强度方面考虑，各挡齿轮应选用不同的模数[6]。为了加工方便，降低成本，令各挡位齿轮的模数与压力角相等。综上所述，优化变量为

x=[xi]=[m,bi,α,zi1,zi2]

(9)

1.3 约束条件

1) 性能条件约束

性能条件约束包括齿面接触疲劳强度约束和弯曲疲劳强度约束。依据文献[7]确定齿面接触疲劳强度约束条件和齿根弯曲疲劳强度约束条件如下。

齿面接触疲劳强度约束：接触强度的计算安全系数应不小于其相应的最小安全系数，即

SHmin-SH≤0

(10)

式中：SHmin为接触强度的最小安全系数；SH为接触强度的计算安全系数。SH的计算公式为

(11)

式中：σHlim为试验齿轮的接触疲劳极限；ZNT为接触强度计算的寿命系数；ZLVR为润滑油膜影响系数；ZW为工作硬化系数；接触强度计算的尺寸系数；ZH为节点区域系数；ZE为材料弹性系数；Zεβ为重合度与螺旋角系数；Ft为端面内分度圆上的名义切向力；bi为工作齿宽；d1为小齿轮分度圆直径；u为齿数比；KA为使用系数；KV为动载系数；KHβ为接触强度计算的齿向载荷分布系数；KHα为接触强度计算的齿间载荷分配系数。

齿根弯曲疲劳强度约束：弯曲强度的计算安全系数应不小于其相应的最小安全系数，即

SFmin-SF≤0

(12)

式中：SFmin为弯曲强度的最小安全系数；SF为弯曲强度的计算安全系数。SF的计算公式为

(13)

式中:σFE为弯曲疲劳强度基本许用应力；YNT为弯曲强度计算的寿命系数；YδrelT为相对齿根圆角敏感系数；YRrelT为相对齿根表面状况系数；YX为弯曲强度计算的尺寸系数；Ft为端面内分度圆上的名义切向力；bi为工作齿宽；m为法向模数；KFβ为弯曲强度计算的齿向载荷分布系数；KFα为弯曲强度计算的齿间载荷分配系数；YFS为符合齿形系数；Yεβ为重合度与螺旋角系数。

2) 设计准则约束

模数的约束：齿轮的模数直接影响齿轮的几何大小和齿轮的抗弯疲劳强度，参考大量小型拖拉机变速箱采用的模数，确定模数m的约束条件为

2-m≤0，m-3.5≤0

(14)

齿数的约束：如果齿数过少，齿轮在加工时会产生根切现象，导致齿根厚度变薄，齿轮抗弯曲能力下降，重合度减少，影响传动的平稳性。为了避免根切，标准直齿圆柱齿轮的最小齿数为17。但由于本文研究对象可采用变位齿轮，因此放宽小齿轮最小齿数的约束，为

14-zi1≤0

(15)

齿宽的约束：齿宽的大小通常由模数初定，它的大小直接影响齿轮的强度。一般直齿轮齿宽b=(4～8)m，相应的约束条件为

4m-bi≤0，bi-8m≤0

(16)

压力角的约束：压力角影响齿轮的效率和强度。一般压力角的常用范围为14.5°～25°，相应的约束条件为

14.5×π/180-α≤0

α-25×π/180≤0

(17)

3) 设计要求约束

针对具体的某款拖拉机变速箱，还有与其设计要求相关的约束条件，本文的研究对象还包含传动比要求和中心距要求。

传动比约束条件为

zi2/zi1-ii=0

(18)

中心距约束条件为

(19)

式中a为齿轮副中心距。

2 双目标优化模型求解方法

传统的多目标优化方法通常通过构建一个评价函数，将多目标转化为单一目标进行求解，例如加权法、约束法、目标规划法等[8]。但是由于本文两个优化目标中，一个是百分比，一个是体积，它们各自具有不同的量纲和物理意义，没有共同的度量标准，无法进行定量比较，而且两个目标之间存在相互联系和制约，因此传统方法不能很好满足求解该问题的要求。

为了解决上述双目标优化的求解问题，选择使用带精英策略的非支配排序遗传算法(NSGA-Ⅱ，Non-dominated sorting Genetic Algorithm Ⅱ)，能够得到一组最优解集，使得各目标不能同时达到各自的最优值， 最优解集中的这些解之间无法进一步比较互相间的优劣性，该解集称为Pareto最优解集(Pareto optimal solutions)。再根据经验和实际情况，权衡所有Pareto最优解之后，从中选取一组最优解作为本文双目标优化问题的最终解。

NSGA-Ⅱ的基本思想[9]：首先，随机产生规模一定的初始种群，对其进行非支配排序，初始化种群中每个个体的非支配排序值；其次，通过遗传算法的选择、交叉、变异得到第1代子代种群；然后，从第2代开始，将父代种群与子代种群合并，再对其进行快速非支配排序，同时对每个非支配层中的个体进行拥挤度计算，根据非支配关系以及个体的拥挤度选取合适的个体组成新的父代种群；最后，通过遗传算法的基本操作产生新的子代种群；依此类推，直到满足程序结束的条件。相应的程序流程如图1所示。

图1 NSGA-Ⅱ基本流程

3 实例分析

3.1 优化对象简介

选取某拖拉机传动箱为优化对象，其传动方案如图2所示。以传动箱的低1挡(1挡1对齿轮+高低挡低档2对齿轮)为例，对其进行双目标优化。该挡位的传递路线如图2中箭头所指，原齿轮参数为：中心距a=105 mm；模数m=3；压力角α=20°；1挡传动比为2.455，齿宽b1=15 mm，主动齿轮齿数z11=20，从动齿轮齿数z12=49；高低挡主动齿轮副传动比为2.136，齿宽为12 mm，齿数z21=22，z22=47；高低挡从动齿轮副传动比为2.136，齿宽为16 mm，齿数z31=22，z32=47。根据整机参数算得的3对齿轮副小齿轮上的最大扭矩分别为T1=112.45 N/m，T2=60.37 N/m，T3=128.98 N/m。根据式(1)算得的齿轮总体积为829 986 mm3；根据式(2)算得的总啮合效率为96.859 2%。

由于该传动箱前部还可加装HST，因此中心距必须等于已选定的HST的中心距，即a=105 mm；小型拖拉机变速箱模数m取值为2、2.5、3、3.5。

图2 传动系统简图

3.2 优化的结果与分析

遗传算法中，种群个体数目N即初始解的个数，N的取值越大，优化结果越好，但是迭代次数和计算时间也会越长。根据经验，N的取值范围在20～150之间，或者取值为变量个数nv的50倍但不超过200。最大遗传代数Ngen即运算的最大迭代次数，Ngen的取值一般在100～500之间，或者取值为变量个数nv的100倍。

利用Matlab优化工具箱编写程序求解该优化问题。本文为了获得更好的优化结果，取N=200，Ngen=1 000，运行优化程序后最终得到的Parato最优解，如图3所示。

图3 双目标优化结果

优化程序运行后的齿宽和齿数结果均不是整数，因此需要对其进行圆整。优化结果的参数圆整之后如表1所示。各优化结果与原参数结果的总体积和总效率对比如表2所示。

表1 双目标优化圆整结果

表2 各结果与原参数结果的对比

结合表1和表2可以看出：变量压力角α的优化结果为25°，其中结果1～6的齿轮模数为3，齿轮总体积减少了6%～12%，齿轮系总啮合效率提升了0.36%～0.46%；结果7～9的齿轮模数为2.5，齿轮系的啮合效率提升较大(0.82%～0.85%)，但齿轮总体积增加了9%～10%；结果10和11的齿轮模数为2，齿轮系的啮合效率得到了大幅度提升(1.26%左右)，但是齿轮总体积也增加了50%左右。经过权衡，选取结果2为最终的优化结果。优化后的齿轮系啮合效率为97.297 6%，与优化前相比提高了0.45%，优化后的齿轮总体积为770 886 mm3，与优化前相比降低了7.12%。

3.3 优化后齿轮参数的最终确定

经过优化，该传递路线各挡位的传动比i，中心距a，模数m，压力角α，齿数zi1，zi2和齿宽bi都已确定。由于齿数经过圆整，因此还需对齿轮进行变位才能满足中心距的要求。利用专业齿轮箱设计软件Kisssoft，将已知参数和齿轮受力数据输入软件的齿轮副设计模块，在变位系数中选择最佳滑移率，可得到6个齿轮的最终变位系数，如表3所示。

表3 变位系数结果

4 结束语

本文建立了以齿轮系齿轮总体积最小、总啮合效率最高为优化目标的双目标优化模型。提出了利用带精英策略的非支配排序遗传算法(NSGA-Ⅱ)求解该模型。以某拖拉机传动箱低1挡为例，利用Matlab对双目标优化模型进行求解。结果表明：齿轮系总啮合效率和齿轮总体积均得到了有益的结果。本研究为拖拉机传动箱齿轮系的优化设计提供了新的思路。