祝浩军

摘 要：聚焦深度的数学课堂，应让学生在自主的、丰富的数学活动中平等交流，积极思考，自主积累数学活动经验，提升学生的数学素养。要实现基于核心素养的深度数学课堂，教师要把握教材，放手活动与交流；要引发思维，形成数学思想方法；要研发习题，促进学生思维发展和习惯养成。

关键词：深度课堂；数学教学；数学思想；数学活动经验；核心素养

中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1008-3561（2018）27-0076-03

第二学段“图形与几何”领域的教材，素材丰富，图文并茂，有利于学生自学思考、实践探究，有助于发展学生的空间观念、形象思维。不少教师在“图形与几何”的教学中，比较重视学生观察能力的培养，也比较关注图形特征、计算公式等知识的讲解传授，却忽视了丰富的数学活动及数学思想方法的引导，也忽视了学生动手实践、合作探究与思考交流的学习经历，这样的数学课堂教学没有深度，从而在一定程度上影响了学生核心素养的发展和能力的提高。例如，在一次课堂教学调研中，在学生学完“圆的面积”后，教师让学生解答：正方形面积是7平方厘米，求圆的面积是多少平方厘米？某班37人，有16位学生面对此题束手无策。学生的回答是：这个题目中没有圆的半径，而且圆的半径也无法求出，圆的面积也就无法求出来。课堂中教师过于强调运用公式，要求学生牢牢抓住公式：“求圆的面积必须知道圆的半径，如果告诉我们圆的直径、周长，必须先求出圆的半径，再根据公式求出圆的面积。”课堂中过多的讲解、不足的探究与实践活动封闭了学生解题的思维。在某区毕业班数学教学质量评估中，有这样一题：我们都知道，梯形面积的计算公式是“（上底+下底）×高÷2”，那么，为什么要“÷2”呢？请用写一写、画一画的方式表达你的想法。有不少学生写了“因为有上底和下底，两个底了，就需要÷2”，表达不清；有的学生虽然画了图示，但思考过程的文字表述与画图没有结合起来。课堂教学中没有重视让学生自己动手实践，忽视借助图示直观推导梯形面积公式的过程，没有落实表述自己的发现规律环节，削弱了推理、想象和数学表达能力的培养与促进。那么，在“图形与几何”的教学中，如何聚焦课堂深度，帮助学生有效积累数学活动经验，提升数学素养呢？

一、要放手，把握教材，放手活动与交流

苏步青教授曾说：“看书要看到底，书要看透，要看到书背面的东西。这背面的东西，就是数学的思想方法。”一个理想的数学学习过程应该如此：学生积极参与、独立思考、主动探索、自主选择、自由表达、富于想象、敢于否定和充满激情。而实现这一理想的前提在于教师把握好教材，创造性地运用教材，充满自信地放手，让学生自主地开展丰富而有效的活动，进行平等而宽松的交流。

1.能够“独立理解”的，让学生自主活动

教师要把握学情，善解“生”意，要能够找到与学生需要相吻合的言行，提供最好的指导和交流方式，因势利导，达到水到渠成、事半功倍的效果。例如，在“圆环的面积”这一课的学习中，学生对圆环不理解，教师可让学生找圆环、画圆环，再根据课本上的图自己做一个圆环。通过一系列动手操作活动，学生不仅理解了圆环的概念，而且很快推导出了圆环的面积计算公式。学生对自己通过操作实践学到的知识不但记忆牢固，而且能灵活应用。

2.能够“互相启发”的，让学生合作思辨

课堂中，教师可以设计富有操作性的合作探究活动，让学生一起动手、动眼、动脑、动口，在活动中积极探究，亲身体验，积累一些直接的经验，培养学生合作与交流能力。例如，在“梯形的面积公式”教学中，教师引导：平行四边形面积和三角形面积都与底和高有关，请同学们大胆猜测，然后探究验证。在学具袋中选择各种梯形（有直角梯形、一般梯形等若干个，有完全一样的，也有不一样的），然后分组探究：利用手中的学具，选择你所需要的梯形，或拼、或剪……转化成一个以前我们所学的图形；想一想可以转化成什么图形，所转化成的图形与原来梯形有什么联系；说一说发现了什么，并尝试推导梯形的面积计算公式。学生小组合作，操作、观察、交流，教师参与讨论，学生交流汇报。（教师根据学生的回答借助课件演示）生1：我选择两个完全相同的直角梯形，拼成了一个平行四边形，也可以拼成一个长方形。每个梯形的面积等于拼成的平行四边形面积的一半。生2：我们只是找了两个完全一样的一般梯形，只拼成了一个平行四边形。这个平行四边形的底等于梯形上底和下底的和，高等于梯形的高。面积就是拼成的平行四边形的一半。生3：我用剪刀，把梯形剪开分成两个三角形。不同的两个底乘高除以2，就是上底×高÷2+下底×高÷2。生4：我找了一个等腰梯形，对折一下，剪开拼成了一个长方形。学生再通过相互交流、互补，使结论更加完善，得出梯形面积的计算公式：梯形的面积=（上底+下底）×高÷2。学生能想到、做到、说到的，教师不限制、不替代、不暗示，为学生提供了一个充分发挥才智自己想办法解决问题的思维空间，在这里学生可以按照自己的想法任意剪拼一个梯形，摆拼两个梯形，使学生经历“尝试——失败——成功”的过程，培养学生探究、发现和推理能力。教师做好引导，落实交流，协助学生完成个性化的推导，纠正学生的错误猜想，巩固正确的推导思路。

3.可以“实践体验”的，让学生操作演绎

数学课程标准的一个重要理念就是为学生提供做数学、“玩”数学的机会，让学生在学习过程中去体验、去经历数学，积累经验，体验属于学生自己的数学思维方式和解决问题的实践途径。例如，在“面积和面积间的进率”的教学中，教师分别出示1平方厘米、1平方分米的正方形。师：请大家观察这两个正方形，你能否大胆猜测一下，1个大的正方形可以剪成多少个小的正方形？平方分米和平方厘米之间的进率是多少？生1：我猜可能是100。生2：我猜可能是1000……师：你有什么辦法来验证你的猜想呢？请你认真思考一下，动手试一试。有的学生用1平方厘米的小正方形在1平方分米的正方形上摆；有的学生用尺子测量起1平方分米的正方形边长，并用铅笔画出边长是1厘米的正方形分解起来；也有学生将大正方形对折；有的同桌之间小声讨论着……当学生处在一种积极探索的心理状态时，就会兴趣盎然地投入实践活动。在这个过程中，目标是明确的，思维是发散的，操作活动是自由的，最后结论是验证后得到的。自主活动后的交流过程，更是充满个性化的感受和见解，同伴之间通过合作交流，可以学习研究问题的多种方法，促进认知的个性化发展，探索与思辨、实践与创新能力也能得到培养。这样的课堂是有深度的，留给学生感悟是深刻的。

二、要引领，引发思维，培育数学思想方法

数学课程标准中指出：数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如抽象、分类、演绎、模型等。学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想。深度数学课堂要基于学生是数学学习的主人，积极发挥学生的主体地位，让他们动脑、动手、合作探究，经历分析、思考、解决问题的全过程，感悟数学思想，促进数学理解。教师要成为忠实的思维导航员，做好“核心问题”的引领，为学生开阔思路，优化方法。

1.适时提供“媒体”直观，在观察中培育

心理学家研究表明，学生思维是从具体形象思维为主要形式逐步过渡到抽象逻辑思维为主要形式。即便到了高年级，他们的抽象思维也离不开具体形象思维的支持。课堂教学中，教师要利用感性材料的直观形象，特别是计算机多媒体形象化的演示活动，把静态的数学知识转化为一种动态的活动过程，引导学生结合动态的画面更好地理解数学知识的形成过程。例如，在“圆柱体积计算公式”的探索与推导中，教师可通过动态的演示过程（见下图），帮助学生清楚地了解圆柱转化成近似长方体的过程，明确圆柱体体积计算公式V=Sh的来历，理解计算公式规定的合理性：柱体体积=底面积×高。

2.精心编制“思考”流程，在点拨中培育

课堂教学是否体现数学的本质，这是很关键的。深度教学一定要着眼于提高学生的数学素养，以学生的学习活动对学生的思维发展是否有促进作用来衡量，把握教材、学生经验和教学目标，编制“思考”流程。例如，特级教师牛献礼的“三角形的稳定性”教学片段中，理解了三角形的定义后，师：我们再画几个三角形来理解意义。（出现基本图形三个点）以这三个点为顶点画一个三角形。学生上黑板画三角形。师问：三个顶点在三角形中起什么作用？生：固定位置，固定大小……（结合学生的描述，课件体验）师：还有没有不同的见解？你们都认同吗？我们再来想象一下。请同学们闭上眼睛，在大屏幕中想象出三个点，再想象出以这三个点为顶点的一个三角形，看到三角形了吗？它的位置看到了吗？看到它的大小了吗？用手比一比大小。睁开眼睛吧。师：你们能够根据三个点就想象出三角形的位置和大小，已经具有了学好数学图形的重要品质。课件演示：出示三条边，拉开点距离。用这三条线段围成一个三角形，让三角形旋转后观察，你有什么发现？生：位置变化了，形状大小相同，相对角的大小不变。生：看来三条线段的长短可以确定三角形的大小和角的大小。（课件闪烁，抽取一个角）师：你会把这个角变大或变小吗？生：两边叉开越大角就越大，叉开越小角就越小了，（课件演示变化过程）师：（出示教具）如果老师想让这个角固定不变，你有办法吗？学生想办法。师引导：来，我们合作一下，做成三角形。检验一下，这个角度的大小还变吗？（学生拉）是谁固定了这个角度的大小？揭示：三角形具有稳定性。（板书：稳定性）教师针对“三角形的稳定性”这个核心知识点，展开了最有利于学生思考的引导：固定顶点画三角形，观察、想象三角形，操作角的大小变化。学生聚焦了最本质的问题，由浅入深，深刻地理解了三角形的稳定性。

3.大胆创设“想象”情境，在说理中培育

例如，在“平面图形的总复习”的教学中，由线及平面图形的教学环节，教师这样引导：我们小学阶段已经学过哪些平面图形？闭上眼睛，你能一下子想起来吗？师：我先画一个平面图形，请同学们看黑板。画了两条线段，形如一个角（见下图）。师问：根据你的经验，猜一猜，老师将要画什么图形？生1：猜测是三角形，还要画一条边。生2：我猜测是平行四边形，再画与它平行的对边各一条，因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形。生3：我猜测画只有一组对边平行、另一组对边不平行的四边形、梯形。师质疑：有可能是正方形、长方形吗？为什么？生：长方形、正方形的四个内角都是直角。不可能是这两种平面图形，更不是圆。这个环节中，教师运用多媒体投影出六种平面图形，形象而直观，让学生眼睛一亮，注意力一下子集中了。而后，教师组织学生猜一猜：老师要画什么平面图形呢？这样就唤起了旧知，引导学生对小学阶段平面图形的回忆，回顾平面图形特征，猜测、说理的过程，促进了学生的积极思考和对数学的理解，培养了学生合情推理的能力。

三、要研习，研发习题，促进思维发展和习惯养成

研习，指的是研究习题，形成思想。数学专家说过：数学训练的第一层次是“知识堆积”与“解题术”式的；第二层次是“思维方法”和“解题方法式”的；第三层次是“数学思想”和“数学观念”的，它虽抽象，但功能性强，是对前两个层次的指导和引领。所以，有深度的课堂教学，教师必须科学地、有层次地设计练习，培养学生良好的思维习惯，形成数学思想和观念。

1.提供“一图多解”，领悟“联系”

学习题材的多样化、丰富性，同一问题、图表解法的多样性，都能有效促进学生数学思考和积极交流。但在课堂上，学生之间存在差异，他们的认识水平和理解能力也有深有浅，但不同的解题方法有其内在的必然联系，需要教师加以引导、指点，让学生领悟其内在的联系。例如，教学“长方形、正方形面积”时，教师出示右图（单位：厘米），它的面积是多少平方厘米？解题时，很多学生都将其分割成两部分来计算，得出：10×3+（6-3）×4=42（平方厘米）。6×4+（10-4）×3=42（平方厘米）。有学生提出了两种不同的算式：（10+4）×3=42（平方厘米）和6×（4+3）=42（平方厘米）。针对后两种回答，大部分学生不解。教师引导学生观察想象：“你们能不能将这个图形割补成一个规则的图形解答呢？”学生们动手操作，很多学生敏锐地观察到10-4=6（厘米）、6-3=3（厘米），并借此想象，用灵活运动变化的观点，割补法转化成为一个完整的长方形来解答。

2.提供“典型变式”，体会“本质”

所谓“变式”，即在教学中用不同的直观材料或实例说明事物本质属性，或变换同类事物的非本质特征以突出事物本质特征。数学课堂中运用变式，有利于学生进行有意义的学习。教师需要给学生提供富有挑战性的问题情境，尤其是提供一些突出知识的关键属性的典型变式，来帮助学生把握事物的本质，让学生能够在变异中把握“不变”的本质，把不变的本质迁移运用到帶“变化”的情境中去。例如，对于“已知正方形的面积是7平方厘米，求圆的面积是多少”这道题，如果教师在平时教学让学生分析公式中的“已知量”和“未知量”，关注数学思考，强调解题策略，学习效果就会不同。学生就会认为简单，直接或间接地知道圆的半径或半径的平方就能求出圆的面积：因为R2=7，所以S=πR2=7π=21.98（平方厘米）。

3.提供“对比习题”，培养“慎思”

例如，在“圆锥体积”的练习课中，教师让学生解答两个对比性问题。题1：小林用橡皮泥做了等底等高的一个圆柱和一个圆锥，圆柱的体积是36立方厘米，那么圆锥的体积是（ ）立方厘米。已知圆锥的底面积是9平方厘米，它的高是（ ）厘米。题2：王师傅把一个底面积是36平方分米，高4分米的圆柱体钢块，铸成一个圆锥体零件，这个零件的体积是（ ）立方分米。已知这个零件的高是9分米，那么铸成的圆锥的底面积是（ ）平方分米。这两道题的难度相仿，思路相近，而第二题做错的学生接近一半，这并不是学生不理解，而是学生在大量的同类型问题解决训练后，思维机械化、自动化了。学生一看到求“圆锥的体积”，就自然而然地将圆柱的体积除以3。所以，提供对比题，可以促使学生通过认真审题、借助直观图示、画画草图等方法，发挥想象力，形成谨慎思考问题、深刻反思的习惯。

4.丰富实际问题解决，促进“创新”

首先教师要有效使用教材中的习题，落实一题多解、一题多变、对比训练、改编等策略，让实际问题更富有创意。其次教师要提供综合性的动手操作题，让学生在实践中理解本质，促进学生思维创新。例如，用一张正方形的纸制作一个无盖的长方体，怎样制作使得体积较大？还可以提供给学生一些标准的正面实例，或非标准正例，甚至是反例，让学生独立思考问题，交流想法，这样解题思路就会由“单一”变为“多样”，更能促进学生创新思维的发展。

总之，只要教师精准把握教材，潜心设计流程，科学研发习题，既注重教学过程，关注学生的学习经历，又重视学生的数学活动经验积累和思维提升，切实让数学课堂走向深入，学生学习就更有深度，数学教学就会有新的突破。

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