贾青

中国社会科学院 哲学研究所 逻辑研究室v100jq@163.com

从20世纪60年代开始，不同相干逻辑系统的代数语义相继出现，但是这些代数语义大都是为某一或某些相干逻辑系统构建的，因此具有较强的特设性，也很难将其推广或者应用到其他相干逻辑系统的语义构造上去。Meyer和Routley（[1]）所定义的阿克曼广群（Ackermann groupoid）则初步改善了这一状况。由于阿克曼广群给出了相干逻辑的基本正系统（Basic positive system）B+以及B+的一系列扩充的语义解释，所以其成为一个较有普遍性的代数语义。Meyer和Routley（[1]）还探讨了阿克曼广群与相干逻辑关系语义之间的对应关系。本文中，我们将这种讨论扩展到阿克曼广群、关系语义（relational semantics）以及推理语义这三者之间的对应关系，从而说明对于B+以及其一系列扩充而言，这三种语义解释是等价的。

1 相干逻辑系统B+以及B+的扩充

相干逻辑系统B+由Routley和Meyer（[2]）给出。B+的语言记作LB+，其中包括命题常项⊤，二元连接词→、∧、∨，命题变项p、q、...以及辅助符号左括号“(”和右括号“)”。

LB+有以下类型的公式：变项、常项、A∧B、A∨B和A→B。

系统B+的公理模式和推导规则如下：

如果保持B+的公理模式（A1–A9）和规则（R1–R5）不变，那么B+可以通过增加下列的任意公理模式而得到扩充1需要注意的是，通过将B+中的规则转变为定理，我们就能得到比B+更强的相干逻辑系统。：

由此可以得到下列相干逻辑中的正系统：

如果剔除掉LB+中的常项⊤以及相关公理模式和规则，那么就能在此基础上扩充得到一系列不含常项⊤的相干逻辑正系统（如R+等）。

对于系统B+，我们使用V(LB+)表示LB+的变项集，C(LB+)表示LB+的常项集，F(LB+)表示LB+的公式集，Th(B+)表示LB+的定理集；……