摘 要：高数中许多重要的概念如导数、微分、积分等均建立在极限基础之上，而极限思想蕴涵着丰富的哲学理论，深刻领悟这些哲学理论对掌握高等数学的学习有着极其重要的意义。

关键词：高等数学极限思想哲学理论

高等数学极限思想里蕴涵着丰富的哲学理论。在教学中，教师如果能充分挖掘高等数学中的哲学理论，用哲学的观点和思维方法来指导高等数学教学，不仅可以培养学生的辩证思维，提高学生的哲学素养，还可以使学生从新的角度来认识数学、理解数学，感受数学的思想精髓。

极限思想是一种研究变量变化趋势的数学思想，体现了辩证法思想。理解极限概念及其思想中所蕴涵的哲学理论，对掌握高等数学有着极其重要的意义。

一、极限思想里体现着对立统一律，极限思想是从有限到无限的工具和桥梁，无论是概念的引入还是概念本身，都体现了变与不变、过程与结果、有限与无限、近似与精确的对立统一。例

如，对于数列{an}来说，若，当n→∞，其极限为2；在n的逐渐变大的过程中，数列中的{an}每一项的值随着n在不断变化，这个过程是动态的，项数也是有限的；但是，当项数n无限增大时，即n→∞时，an的值无限趋近于一个确定的常数2，这个无限运动变化的结果是一个数值，因此在极限思想中无限是有限的发展，有限是无限的结果，它们既相互对立又相互统一。

二、极限思想里体现着量变引起质变的规律，当量的变化达到一定程度会引起质的变化。质变不仅可以完成量变，而且为新

的量变又开启了航程。如，当n为有

限项时，sn是无穷小量，但当n→∞时，量变却引起sn“质”的变

化，，此时sn却不再是无穷小量了。

在高等数学导数概念的引入例子中，为求曲线y=f（x）在点P处的切线的斜率，首先在曲线上另取一点Q，先得割线PQ的斜率；然后让点Q沿曲线y=f（x）无限地趋近点P，割线的极限位置就是曲线在点P处的切线，而割线PQ斜率的极限值就是曲线y=f（x）在点P处切线的斜率。在点Q沿曲线无限接近点P的变化过程中，割线PQ的斜率在不断地发生变化，无限接近切线斜率，但这只是一个量变的过程，它表示的终究是相应割线的斜率，而不是切线的斜率，直到点Q到达极限位置即点Q与点P重合时，割线PQ的斜率才发生质变，成为曲线y=f（x）在点P处切线的斜率。

以上两类极限思想里体现了量变引起质变的哲學理论。

三、极限思想里面蕴含哲学理论否定之否定律，任何事物的内在都包含着肯定和否定两个方面，当由肯定达到对自身的否定，并再由否定达到新的肯定，谓之为否定之否定律。高等数学中的极限概念的形成和发展恰符合否定之否定律。在概念形成之初，概念得到肯定，但随着研究的深入，概念就会不完善，从而被否定，进一步研究完善得到新的肯定。就极限之概念，最早引入变量极限概念的是16世纪英国数学家瓦里斯，他定义：“变量的极限是变量所能最大程度逼近的一个常数，使得它们的差能够小于任何给定的量。”这是极限概念的雏形；接着17世纪法国数学家柯西较完整地阐述了极限概念：“当一个变量逐次所取得的值无限趋近一个定值，最终使变量的值和该定值之差要有多小就有多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值”，柯西的极限概念仍然是不严谨的，没有达到彻底严密化的程度；18世纪维尔斯特拉斯为了去除极限概念中的直观痕迹，他提出了极限的精确定义：即ε-N定义，给微积分提供了严谨的理论基础。从极限概念日臻完善的过程反映了哲学中否定之否定律，经过一个周期的运动回到了起点，在运动中不断否定完善又肯定，最终又高于起点。

由此可见，高等数学的极限思想蕴含着许多哲学理论，数学与哲学关系紧密，因此在高等数学的教学中，不能忽视哲学理论的渗透，这样才能更好地发展数学，保持数学之树常青。当然，引导学生领悟数学思维中的哲学理论和在哲学理论的指导下进行数学思维培养，是提升学生数学素养和提高学生分析问题、解决问题能力的重要方法和手段，作为教育工作者应该重视在教学过程中渗透哲学理论，让学生从新的角度来认识数学、理解数学，感受数学的思想精髓。

作者简介：

黄银海，重庆三峡职业学院，副教授，数学教学。

（作者单位：重庆三峡职业学院）