雷胜友 惠会清

(1.长安大学 公路学院， 西安 710064；2.长安大学 理学学院， 西安 710064)

1 弦线模量提出的学术背景

20世纪的五六十年代，中华人民共和国刚刚成立，百废待兴，全国出现了大规模的基本建设．为此，科研设计单位进行了大量的地基承载力试验，其中在西北地区进行了大量的黄土以及湿陷性黄土浸水湿陷后的承载力试验，主要集中在陕西、甘肃、宁夏等省份．在这样的大环境下，出现了这样的一件事，西安机瓦厂供轮窑使用的烟囱1965年9月底开始施工，年底基本建成，烟囱总高度57.57米，1967年10月发现向西南倾斜84 cm，1969年4月达到93.4 cm，当时各级部门对这件事都十分重视，希望在不破坏烟囱的情况下将已经倾斜的烟囱扶正，以当时的技术和条件，这是件十分棘手的事情，当时有人提出将烟囱拆一半，上面改用铁皮烟囱，地基浸水加压校正，也有人主张地基硅化，拆除重建，当时年轻的技术员焦五一先生经过深入思考，提出在烟囱所在地就近进行了地基载荷板试验，根据载荷板试验所得P-S曲线，计算得到不同荷载下的地基模量，又大胆地思索，独辟蹊径，将该模量和地基附加应力有机地联系在一起，得到了地基不同深度处的弦线模量，然后采用分层总和法计算烟囱地基的总沉降量，进而制定出实施反压纠偏方案，成功地将倾斜烟囱扶正[1]．焦五一先生参加完成了大量的黄土地基载荷板试验及其浸水湿陷后的载荷板试验，随后顺着前述思路，对大量的试验资料进行综合分析和合理取舍，形成了黄土弦线模量与土性和地基附加应力的关系，进而系统地分析了全国地基载荷板试验资料，形成了中国地基土弦线模量数据库和计算方法，并编写了计算软件[2]，成功解决了200余项工业与民用建筑的地基处理和纠偏问题，提出了世界上著名的意大利比萨斜塔的纠偏方案，该方案被采纳实施后，当反压加到600 t时，斜塔出现了晃动，当反压加到900 t时，比萨斜塔倾斜停止了，目前已向游客重新开放[3]．由此可见弦线模量法在民用建筑的地基沉降的精确计算以及建筑物纠偏方面显示出强大的优势，为工程界所称道，丰富了土力学宝库．然而与土力学发展历史相比，弦线模量诞生的历史还是比较短，不为人们所熟悉，笔者经过学习研究[4-7]，谈一谈弦线模量的合理性、所蕴藏的学术意义，以及在高速铁路地基沉降计算上的应用，希望进一步挖掘弦线模量的学术价值．

2 地基弦线模量的定义以及在地基沉降计算应用概述

在材料力学上，通常定义有材料的弹性模量，一般由材料的单轴拉、压试验所得，其拉伸曲线直线段的斜率即为材料的弹性模量．此外为了研究和应用的方便，还定义了材料的初始切线模量、切线模量、割线模量，另外还有弦线模量．各模量示意图如图1所示．

图1 有关材料的模量示意图

初始切线模量、切线模量、割线模量、弦线模量都是针对材料的非线性应力应变关系而言．对于岩土类材料，用得最多的是初始切线模量、切线模量、割线模量，而在地基的沉降计算中，常常用到土的压缩模量，它是由土的室内压缩试验所得到．

3 地基土弦线模量的定义、获取方法及在沉降计算中的应用

3.1 地基土弦线模量的定义、获取方法

一般由地基载荷板试验可以得到荷载与载荷板下沉量的关系曲线，即P-S曲线(如图2所示)，从曲线可以看到，在刚开始加荷阶段，荷载和载荷板沉降量近似呈线性关系，当越过比例极限后，随着荷载的继续增加，二者之间呈非线性关系．对于P-S曲线的线性段，其直线的斜率就是该荷载范围内地基的变形模量，对于曲线段，通过分段线性化求得不同荷载下地基的变形模量，通常以差分代替微分的形式来处理，这样可得到变形模量随荷载的变化曲线，即变形模量-荷载曲线．

图2 地基载荷板试验曲线

3.2 弦线模量法计算地基沉降的基本原理

焦五一先生认为地基的附加应力符合布辛尼斯克法分布，假定在某一深度处地基的附加应力为pi，在变形模量-荷载曲线上内插即可求得不同附加应力pi所对应的地基变形模量，这样就得到了外荷载下地基变形模量随深度的分布曲线，然后用分层总和法求得地基的总沉降量(如图3所示)．在以上计算过程中，将地基土作了均匀化处理．焦五一先生将以上计算所用的地基模量先后称为变形模量、切线模量、弦线模量，最终定为弦线模量，并一直沿用至今．

从有关资料[1]可知，地基土的变形模量随深度增加而增大，因此用地基附加应力在载荷板试验曲线上进行内插而得到地基变形模量，也符合以上变化规律，因此地基模量采取这样的方法获取是可行的．以下为弦线模量的计算公式[1]，

图3 弦线模量的基本原理

其中，ΔPi为P-S曲线上Pi点前一段的增量，可取载荷板实验的每级加荷量，即0.25 kg/cm2，ΔS为对应于ΔPi的沉降增量，F为荷载板的面积，d为载荷板底换算直径，μ为直线变形阶段的泊松比．

用弦线模量计算地基总沉降量下式

其中hi为地基分层厚度，βi为修正系数，通常取1．

3.3 弦线模量法在地基沉降计算上的应用

焦五一致力于弦线模量的研究，先后用弦线模量计算了大量的建筑物(包括烟囱、电视塔、比萨斜塔、工业厂房、民用建筑、油罐)地基沉降量和黄土地基的湿陷变形量，其计算的地基沉降量、黄土湿陷变形量与实测值很接近[8-20]，现列出代表性结果如图4所示．

图4 弦线模量计算结果比较

为了验证弦线模量在地基沉降计算上的合理性，笔者也尝试着用弦线模量法计算高速铁路路基下地基土的总沉降量[21]，其中地基附加应力分别按布辛尼斯克组合合法、布辛尼斯克直接法、布辛尼斯克三角形法、德国DB836法计算，路基下的地基为经CFG桩+短桩处理过后的复合地基，计算所用的弦线模量是由以上4种方法计算的附加应力，并根据现场载荷板试验资料内插而得，各处的沉降计算结果如图5所示．可以看出用弦线模量计算所得的沉降量与实测值比较接近，且精度非常的高，完全满足高速铁路工后沉降不大于15 mm的要求．从以上可以看出弦线模量用于地基沉降变形和湿陷变形的计算都是可行的，其准确程度很高．

图5 西宝高速铁路客运专线岐山段中心线处地基总沉降量比较

4 由弦线模量引发的思考

4.1 载荷板所得P-S曲线可视为一种本构关系

将载荷板试验中的荷载P除以载荷板的面积，就得到应力p，同样以载荷板的半径或边长去除S，得到视应变，这样就得到P-S/B曲线，这样的曲线实质上就是应力应变曲线，即一种本构关系，所以P-S曲线是一种广义的本构关系，这时的受荷材料是载荷板下的土体．既然是土体的本构关系，就可用于地基的沉降计算，因此，用布辛尼斯克法所得地基附加应力内插求得弦线模量，然后计算地基沉降变形，就是合理的．如果将地基土均化对待，那么地基土可视为一种理想的均匀材料，每一个荷载就对应一个弦线模量，这样就可以建立荷载和弦线模量的对应关系，进行地基的变形计算，所以说弦线模量为地基的变形计算提供了一个新思路．

通常进行载荷板试验时，总是分级加压，每一级荷载就要在地基中产生附加应力，由附加应力引起地基附加沉降，前后两级荷载所引起的总沉降量之差，就是后一级荷载引起的沉降量增量．所以说每一级荷载下的地基总沉降量的计算，总是先求得地基附加应力分布，然后内插，得到不同深度处的地基弦线模量，进而得到各层的压缩量，求和得总沉降量．所以P-S曲线就是累加荷载与总成沉降量(累加沉降量)的关系曲线．

弦线模量与材料性质、应力水平有关，对于土而言，材料性质包括了液限、空隙比、含水量、密度，应力水平则为附加应力的大小．建立起弦线模量与土性和附加应力的关系，或形成数据库，可用于各种地基沉降计算．如果载荷板下的土体是均质的，就得到均质土对应不同荷载下的弦线模量，即弦线模量是土的一种力学参数，跟土性、应力水平密切相关．用弦线模量法计算地基沉降，只认为地基是某种工程材料而已，仅考虑附加荷载产生的变形，不计及其自重，因为多数情况下，自重作用引起的变形已经发生了，这是与传统地基沉降计算的不同之处．

4.2 弦线模量方法与传统土力学方法的比较

一般教科书上的e-p曲线是由室内压缩实验得到，由于e值的变化反映了土样的竖向变形，所以说e-p曲线也是一种变形荷载曲线．从曲线的特点可以看出(如图6(a))，随着荷载p的增加，e值越来越小，曲线的斜率是越来越大，表现为土体的压缩模量是随荷载的增加而增加．而载荷板试验所得P-S曲线则是斜率越来越小(如图6(b))，即土体的弦线模量是随荷载的增加而变小，所以从曲线的变化特点看，e-p曲线和P-S曲线反映的规律不同．究其原因，是试验方法的不同所致．也说明载荷板试验反映了地基土体在荷载下的变形特点，而土的室内压缩反映了小土试件在侧限压缩条件下的变形特点，两种试验的变形特点不同，因此将室内土的压缩试验成果用于地基土的沉降计算，在方法上是不妥的．

图6 室内压缩试验曲线与载荷板试验曲线比较

载荷板试验反映了地基的实际变形，即地基土既有竖向变形，也有侧向变形；而室内压缩试验反映的则是地基土只有竖向变形，而无侧向变形，显然它不能反映地基真实变形情况．由此可见弦线模量在反映地基的变形特点上比压缩模量更符合实际情况．这也是两种方法计算地基沉降的差异所在．

从e-p曲线的使用情况可知，随着深度的增加，自重应力越来越大，附加应力越来越小，压缩模量越来越大，每层的压缩变形越来越小，变形最终趋于收敛．从压缩量随深度的变化规律看，两种方法计算出的总压缩量随深度的变化规律是相同的．但是计算所得的沉降量不同，唯一原因就是所采用的地基模量的差异所致．从地基附加应力的分布特点可知，附加应力随深度的增加表现为“上大下小型”，即沿深度呈“大肚子形”，从载荷板试验曲线可知，弦线模量随荷载的增大而变小，即荷载越大，模量越小，反之亦然．所以可想而知弦线模量随地基深度的增加越来越大，表现为“上小下大型”，压缩模量则表现为“上大下小型”．而地基的沉降变形量主要来自于附加应力比较大的那部分地基土的变形，因此，附加应力影响范围内地基土模量的合理选择是至关重要的，将关乎沉降计算的准确程度．

由于载荷板试验属现场原位试验，所得的弦线模量反映了外荷载下的地基总变形随地基总附加应力的变化情况，因而用弦线模量计算地基沉降，其精确度较高，而压缩模量则要差些，其计算结果总是要做修正．从实际计算结果可知，用压缩模量计算出的沉降值很大，究其原因，主要是由于自重应力随深度的增加越来越大，而附加应力随深度的增加越来越小，尤其在外荷载的影响范围内，自重应力还是很小，而附加应力值却很大，计算出的地基压缩量很大，说明计算所用的压缩模量小．

从e-p曲线的特点看，自重应力很小时，曲线很陡，当有一个很大的附加应力增量时，曲线又变得很缓，综合而言，用于沉降计算的附加应力增量范围内的压缩模量值还是很小，故计算出的沉降量大，这正是由e-p曲线特点所决定．所以说由附加应力“大肚子部分”计算所得的沉降量，在总沉降量中所占比例很大，所以说在沉降计算中，该范围内地基土的模量是选用弦线模量还是压缩模量，其计算结果大不一样．在这一影响范围内压缩模量小的原因主要是取样扰动、土样的运输和制备等造成了土样的初始孔隙比变大，导致计算的沉降量大很多．

4.3 切线模量、变形模量和弦线模量的关系

从数学角度讲，如果载荷板试验所得P-S曲线可以写成某个函数，通过求导，可以求得曲线在各个点上的导数，而各个点导数值就是曲线在各点上的切线模量，实质上这时的切线模量也是变形模量，而不是弹性模量，因为土体的变形包含了弹性变形和不可恢复的塑性变形．如果载荷板试验所得P-S曲线不能写成某个函数表达式，这时要求某一点的斜率就十分的困难，但是可以求得某荷载点邻域内随变形的平均变化率，即弦线模量，可用差分代替微分的方式求得，所以从这点上讲，弦线模量就是切线模量，都属变形模量．所以之前文献称弦线模量为切线模量也是对的[1]．

对于载荷试验所得P-S曲线，还可以通过非线性插值的方法，得到插值函数，这样既确保每级荷载下的弦线模量是准确得，又可通过求导得到其他点荷载下的弦线模量，更为可贵的是可以通过这样的方法，可以求得第一级荷载以前的弦线模量，使得用这种方法计算更深处地基的沉降成为可能，进一步提高用弦线模量计算地基沉降的精度．在这里笔者一直认为，内插是可靠的，外推是不可靠的，基于这一点，载荷板试验P-S曲线范围以外的弦线模量是不可靠的．也有文献假[7]设P-S曲线是双曲线，则可以用求导的方法得到所谓的切线模量和割线模量，然后用于分层总和沉降计算，对于用任意曲线的切线模量可用于沉降计算，总的来说在实质和弦线模量是一样的．

4.4 弦线模量法体现了土力学“有效”的含义

在载荷板试验中，p属重力以外的荷载，所以s为荷载p作用下，载荷板下土体竖向变形总和，P-S曲线实质上还可写为P-∑Si关系曲线，Si为地基不同深度处的竖向变形量，随着外荷载的增加，而其中的p也是累积的结果，又可理解为∑Pi-∑Si关系曲线，也就是由于P的作用，而产生了地基附加应力，由于附加应力的作用而产生了地基附加变形，从而体现有效的含义．荷载板下地基某一深度处的应力之和，就是累加荷载∑Pi，或者p，如果将地基视作一个大的“试件”话，试件横截面上处处所受的荷载都为p，自然试件总的变形量应为各段变形量之和．因此P-S曲线实质上就是这个“大试件”的应力变形曲线，当然可以用于试件各分段的变形计算．

由于载荷板试验是先施加荷载，然后地基产生变形，就相当于应力控制式加载过程中，即变形是随着荷载的发展而发展，按照函数关系，自变量为荷载，因变量为变形量．在载荷板实验的加载过程中，对于每一级荷载Pi，都会在地基中产生不同的附加应力，都会产生不同深度处的变形，进而产生不同的累加变形，在弹性范围内，附加应力随深度的分布曲线形式是不变的，即荷载大小的变化只改变曲线的数值，而不改变其形状．在弹性范围内，即所有土层的变形增量，与荷载的增量成正比，进而可知，累加变形量与累加荷载成正比，因而载荷板P-S曲线就反映了地基中的附加应力和变形的关系，因而P-S曲线可以用于附加应力下地基的变形计算．

4.5 在处理沉降计算时所用方法的不同

用弦线模量方法计算地基沉降可以说是直奔主题，直接对准目标，计算出的沉降量不需要修正，所用的应力为外荷载产生的地基附加应力，由附加应力引起的变形即为地基沉降变形，这样理解起来，概念清晰，体现了土力学中“有效”应力的意义．这同传统沉降计算在战略思想上是不同．

4.6 弦线模量的发展历史考证

大量的国内外资料表明，弦线模量提出最早可以追溯到1967年[2]，当时西安石油仪表厂房屋地基出现了浸水后的大的湿陷变形，焦五一用弦线模量的方法成功地解决了地基处理问题，并先后解决了大量的地基处理难题，而美国才在1982年金属规范里出现了初始切线模量、割线模量、切线模量、杨氏模量，随后经过一次次的规范修订，在最新的规范里，只保留了杨氏模量和弦线模量，由此可见，随着荷载的增加，材料会出现大的非线性变形，用弦线模量可以很好地描述材料这一特性，并且在定量分析上具有可操作性，而通常意义上的切线模量则很难做到这点．可以断言，弦线模量可用于一切材料的非线性变形计算，如金属、岩石、水泥等，为所有材料的应力-应变非线性变形计算分析提供了一条新途径．

对于线弹性材料而言，杨氏弹性模量、切线模量、弦线模量是同一个量，对于非线性弹性材料，弦线模量又显示出它的不同意义．由此可见，我国学者焦五一提出的弦线模量要比国外早15年，在使用方面也比国外好．

4.7 弦线模量其他应用及最新进展

如果载荷板试验的最后一级荷载加完后又是分级卸载，所以还可以得到其卸载曲线或者回弹曲线，通过回弹曲线可以得到每一级荷载下的弹性变形增量和弹性模量，如果每级荷载下的弹性模量值不同，这正体现了土体的特性，这时又根据弦线模量的思路计算每一级荷载下的弹性模量．

黄土浸水湿陷变形也最终归结为土的弦线模量的降低，这样计算可以不必过分地强调湿陷变形，就按弦线模量计算而已．用弦线模量计算地基沉降不涉及地基土超固结性的判断，不需要进行室内压缩试验，其计算的思路可用于任何土．由于土的复杂性和实验的可操作性，以及研究经费等，研究者通常大多采用室内试验方法来研究土，其实验所用的土大多为经过扰动的原状土或重塑土，这样得到的实验结果很难描述实际中的土，尤其在力学特性方面，其差异就更明显，例如由室内实验研究所得土的本构关系很难用于实际工程中土的应力变形计算，这样使得人们不得不寻求一种现场土力学的方法，以获取土的相关参数，无论是为工程应用服务还是为土力学研究，都显得十分必要，而弦线模量则体现了这点．

通过载荷板试验，获取土的弦线模量，通过地勘资料，使其与土性发生联系，可用于全国范围的地基沉降计算，势必是一个新的途径，因此开展土的原位试验技术，并用于工程实践，这将是未来土力学的一个发展方向．

5 结 语

本文研究表明，地基载荷板试验曲线实质上为一种原位本构关系，可用于地基沉降计算．大量工程证明，用弦线模量法计算出的沉降值同实测结果比较接近，这种地基沉降计算方法完全不同于传统土力学的地基沉降计算方法，同时也说明，当材料进入非线性阶段，其模量不仅与材料的性质有关，还与应力水平有关．弦线模量法的研究思路还可用于其他材料的非线性变形计算，还需进一步挖掘弦线模量的学术意义．载荷板试验所蕴含的内容相当丰富，涉及到地基承载力、地基附加应力分布、沉降计算、地基模量的选择、地基破坏形式，以及土性等，还需进一步挖掘分析载荷板试验资料所蕴含的更多信息．