李 博，赵 鹏，宋文波

(北京交通大学 交通运输学院，北京 100044)

高速铁路票额分配是根据预测的客流需求将列车固定的席位能力分配到列车沿途各乘降站的运输计划，合理的票额分配计划能够满足旅客的出行需求，提高列车的能力利用率[1]。然而，客流需求具有一定的随机性和时变性，很难准确预测，可能导致制定的票额分配方案对实际需求的适应性降低，而且铁路部门在进行票额分配决策时，面对不确定的客流需求通常具有一定的风险决策偏好，因此研究不确定需求下的考虑铁路部门风险决策的票额分配方案对于提高票额分配方案的可靠性具有重要意义，并且更能满足实际需求。

针对票额分配问题，国内外学者已经进行了深入的研究。文献[1]定性研究了收益管理在票额分配中的应用。文献[2]在客流需求已知的情况下，通过设计基于客车开行方案的换乘网络，根据网络平衡态研究了以人公里数为最大化的票额分配方法。文献[3]假设各OD客流需求服从独立正态分布，以期望收益最大化为目标研究了单列车、多区段、单一票价下的列车席位控制问题。文献[4]在各OD客流需求服从独立正态分布的基础上，以期望收益最大化为目标研究了多等级票价、多区段、单列车的票额分配问题。文献[5]假设各OD需求服从非齐次泊松过程，以期望收益最大化为目标研究了旅客选择行为下的票额分配方法。文献[6]在短时需求预测的基础上，以期望收益最大化为目标研究了高速铁路票额分配问题。文献[7]假设各OD客流需求服从正态分布，以期望收益最大化为目标研究了考虑通售席位的单列旅客列车票额分配方法。文献[8]将客流需求预测模型嵌入票额分配模型中，以期望收益最大化为目标研究了随机需求下的单列车票额分配方法。文献[9]在客流需求预测的基础上，以期望收益最大化为目标研究了单列车的票额智能分配方法。文献[10—11]在假设各OD客流需求服从独立正态分布的基础上，以期望收益最大化为目标分别研究了多停站和考虑旅客旅行时间的多列车票额分配方法。文献[12]在需求模拟的情况下，以期望收益最大化为目标研究了列车发车间隔与票额分配综合优化模型。但是既有文献主要集中在对单列车的票额分配研究中，通常以铁路部门期望收益最大化为目标，且为随机期望值模型，由于期望值模型可能无法满足实际的决策需要[13]，因此既有模型难以反映铁路部门在票额分配决策时的风险态度。在实际决策过程中，铁路部门面对不确定的需求环境，通常会有一定的风险偏好，以防止所确定的票额分配方案与实际需求相差过大，导致大量的票额调整工作。

根据对既有研究情况的分析，本文在考虑客流需求的不确定性和铁路部门风险决策态度的基础上，以铁路部门收益最大化为目标，构建高速铁路多列车票额分配的机会约束规划模型，利用不确定性理论和方法将模型转化为确定的等价类模型进行求解，最后通过实例验证模型的有效性。

1 问题的提出

1.1 铁路部门风险态度

在进行票额分配时需要对各OD客流需求进行预测，由于客流需求具有随机性，当预测的客流需求不准确时，所得到的票额分配方案可能不满足实际需求，从而导致大量的票额调整工作及列车席位能力的浪费，因此在实际决策中需要考虑票额分配方案的可靠性。既有模型中通常假设各OD需求服从独立正态分布，并且在对随机需求进行处理时，通常使用其期望值进行计算，难以反映铁路部门的风险决策态度。铁路部门根据预测的客流需求进行决策时，由于决策者的性格和对需求认知的不同，通常具有不同的风险取向。风险取向通常分为3类：风险趋向型、风险中立型和风险规避型[14]。当决策者为风险趋向型时，通常会做最好的打算，认为需求情况更好，要大于期望需求，将会使铁路席位能力尽可能地满足需求，然而实际需求情况并非如此，所以得到的方案对实际需求的适应性较低；当决策者为风险中立型时，认为客流需求为随机需求的均值，而不考虑需求的不确定性，所得到的方案对实际需求的适应性也不高；当决策者为风险规避型时，则会利用部分席位能力来满足预测的需求，剩余能力用于应对需求的波动，此时得到的方案对实际需求的适应性会更高。在不确定理论中，随机变量除了使用期望值和方差外，还可以使用乐观值和悲观值来度量，其中α乐观值和α悲观值的定义如式(1)和式(2)所示。

定义1：设ξ为一随机变量，且α∈(0,1]，则有

ξsup(α)=sup{r|Pr{ξ≥r}≥α}

(1)

式中：ξsup(α)为ξ的α乐观值；Pr为概率测度。

从定义1中可以看出，随机变量ξ至少以概率α大于或等于α乐观值ξsup(α)。

定义2：设ξ为一随机变量，且α∈(0,1]，则有

ξinf(α)=inf{r|Pr{ξ≤r}≥α}

(2)

式中：ξinf(α)为ξ的α悲观值。

从定义2中可以看出，随机变量ξ至少以概率α小于或等于α悲观值ξinf(α)。

α乐观值和α悲观值所对应的置信水平α可以代表铁路决策者的风险决策偏好程度[13]，因此可以采用不确定理论中的机会约束规划模型来研究铁路部门在一定置信水平下的票额分配方案，以更好地适应实际情况。

1.2 票额分配

在客票预售期前，列车有限的席位能力可以分配给不同OD的客流需求，不同的票额分配方案将会产生不同的收益。图1为1个高铁列车的停站方案，列车停靠A，B，C 3个车站，票额分配方案就是将列车的席位能力分配到AB，AC，BC 3个OD上以达到收益最大化的目的。假设列车的定员为600人，不考虑列车超员的情况，各OD的客流需求和票价如表1所示。

图1 列车停站方案

OD客流需求/人票价/元AB300100AC600230BC300150

根据表1中各OD客流需求及列车席位能力，可以得到不同的票额分配可行方案，表2中给出了几种可行方案。方案1，方案2和方案3收益分别为13.8万元、14.4万元和14.2万元。可见，不同的票额分配方案将会产生不同的收益，因此在现有列车席位能力下，票额分配方案对提高铁路部门收益具有重要意义。然而，列车的席位能力不仅可以分配至不同的OD，还可以设置为通售票来应对客流需求的波动[7]。当实际的客流需求与制定票额分配方案时的需求相差较大时，需要现场进行票额调整，而目前票额调整工作主要依据人工经验进行，效果不明显[8]，因此制定可靠性更高的票额分配方案具有重要的实际意义。

表2 票额分配方案

2 模型构建

假设某高铁线路上有m个车站，区段h=1,2,…,m-1；(i,j)表示从i站到j站的OD对，i=1,2,…,m-1，j=i+1,2,…,m；pij表示OD对(i,j)的票价；k表示线路上运行的列车，列车集合用K表示；Ckh表示列车k在区段h上的席位能力，在不考虑列车超员的情况下，列车在各区段上的席位能力相同，为列车的定员Ck；τkij表示列车k是否在i站和j站都停站，如果是则取值为1，否则为0，其值由列车的停站方案决定；xkij表示列车k在OD对(i,j)上分配的票额数量，其为决策变量。另外，未被分配出去的票额由实际工作经验决定，本文不考虑未被分配的票额产生的收益。

根据文献[3]，本文假设OD对(i,j)的客流需求dij服从独立正态分布，相应的概率密度函数fij如式(3)所示，其为随机变量，相比既有文献中采用随机需求的期望值进行计算。本文采用不确定性理论中随机变量α的乐观值来处理随机需求，以得到更加可靠的满足实际需求的票额分配方案。

(3)

式中：μij和σij分别为正态分布的均值和标准差。

由于客流需求的随机波动性，在考虑铁路部门风险决策态度时，多列车的票额分配模型如下。

目标函数：通过确定各列车在各OD上分配的票额数，使得铁路部门的收益达到最大，即

(4)

对高铁线路上列车进行票额分配时，需满足以下约束。

(1)能力约束：列车在各OD分配的票额不能超过列车在各区段的席位能力Ckh。

(5)

(2)决策变量的上下限约束：所有列车分配给各OD的票额数量不能超过各OD的客流需求且不能为负数。考虑到客流需求的不确定性，采用机会约束规划思想，将满足客流需求的约束表示为客流需求得到满足的机会达到一定的置信水平，以获得对实际需求适应性更高的票额分配方案，即

(6)

(3)列车服务约束：列车只服务停站之间的OD，即只在停站间的OD上分配票额为

(7)

(4)决策变量约束：列车分配的票额必须为整数，即

xkij∈Z

(8)

式(4)—式(8)构成了不确定需求下的高速铁路多列车票额分配随机机会约束规划模型，求解上述模型可得到各列车的票额分配方案，即xkij的值。

3 模型求解

(9)

当且仅当

(10)

将其转化为标准正态分布形式：

(11)

即

(12)

式中：Φ-1(x)为标准正态分布函数Φ(x)的反函数，通过查阅标准正态分布获得Φ-1(1-αij)的值，由此约束条件(6)转化为：

(13)

除了约束条件(6)转化为约束(13)外，其他约束条件和目标函数保持不变，本文所构建的机会约束规划模型转化为确定性的线性整数规划模型M1，利用Lingo 12.0求解软件对模型M1进行求解，可得到各列车的票额分配方案。

4 案例分析

4.1 基础数据

图2 京沪高铁线路及列车停站方案

上车站下车站票价/元需求/人标准差上车站下车站票价/元需求/人标准差北京南廊坊 29.57134.3济南西泰安 24.54913.3北京南沧州西 94.59541.4济南西曲阜东 59.5246.3北京南德州东 144.53010.5济南西枣庄 99.5188.6北京南济南西 184.536437.5济南西徐州东 129.54721.2北京南泰安 214.06626.4济南西宿州东 164.530.7北京南曲阜东 244.04031.5济南西南京南 279.0228.7北京南枣庄 284.01811.1济南西镇江南 304.074.7北京南徐州东 309.015348.7济南西常州北 334.042.8北京南宿州东 339.0115.7济南西苏州北 364.0158.1北京南南京南 443.5886128.0济南西上海虹桥398.56929.1北京南镇江南 468.54914.8泰安 曲阜东 29.500.0北京南常州北 493.57110.4泰安 枣庄 74.552.4北京南苏州北 523.534151.8泰安 徐州东 104.5199.1

续表3 各OD参数值

4.2 票额分配方案

在各OD客流需求置信水平均为90%的条件下，利用Lingo 12.0求解线性整数规划模型M1，得到G101，G5，G105和G11的票额分配方案分别如表4、表5、表6和表7所示。

4.3 灵敏度分析

在求解模型时客流需求约束的置信水平αij为预先设定的，不同的置信水平表示各OD分配的票额数对需求的满足程度以及铁路部门决策者的风险态度。为研究不同置信水平的取值对票额分配的影响，即铁路部门风险决策态度对票额分配的影响，本文设定αij分别为10%，20%，…，90%，对模型进行求解，得到的铁路收益如表8所示。借鉴文献[10]，在相同的客流需求下，以现有的先客流分配再票额分配的方法作为对比方案，在与本文方案相同的置信水平下得到的铁路收益如表8所示。

表4 G101票额分配方案

表5 G5票额分配方案

表6 G105票额分配方案

续表6 G105票额分配方案

表7 G11票额分配方案

表8 不同置信水平下的铁路收益

5 结 论

(1)通过分析铁路部门风险决策态度，引入随机变量的α乐观值对铁路部门的风险决策态度进行定量化刻画，并在分析票额分配方案意义的基础上，构建了高速铁路多列车票额分配问题的随机机会约束规划模型。通过不确定规划理论将所构建的模型转化为确定性线性整数规划模型，并利用Lingo 12.0优化软件进行求解。

(2)以京沪高铁列车为例研究了铁路部门风险决策态度对票额分配的影响。结果显示，在实际售票过程中必须考虑客流需求的不确定性，选取合理的置信水平以获得较优的票额分配方案。

(3)本文仅研究了同一高铁线路上列车的票额分配方案，未来将进一步研究高铁网络的票额分配方案。