□ 田秋月

一、引言

小学阶段的“解决问题”某种程度上就是一种数学建模，是对一种比较复杂的特定情境给出一个具体的模型。学生所面临的问题依托于数学知识来解决，而数学知识又通过“类型化”的界定产生较为固定的模型，本文以“差对应”模型为载体，探讨培养学生解决问题的能力。

二、现状

学生基于模型思想在解决问题时所体现的能力水平如何？笔者通过杭州市上城区2017学年第一学期四年级上册统测卷中的第30题进行抽样调查，以“盈亏问题”为突破口，获得较为精准的区域性学生问题解决能力的定位。以第（1）（2）两小题为台阶，两个框内的内容为提示。

（一）测试内容

做一批零件。如果每天做120个，比计划迟6天完成。如果每天做180个，可比计划提前4天完成。

（1）“比计划迟6天完成”，这6天做了多少个零件？

（2）“比计划提前4天完成”，如果做满计划天数，还可以做多少个零件？

（3）这批零件有多少个？

（二）测试结果

（三）结论分析

1.本题的样本得分率只有50%，小学中段这一得分率较低，该问题具有一定的典型性。

2.根据上表，绘制出可反映结论的扇形、折线统计图。

图1

图2

（1）作为一道文字表述的应用题，学生读不懂题目信息。

由图2可知，10%的学生连前两个最基本的台阶性的过渡题都无从下手，说明这部分学生对基础的文字表述应用题的理解是有障碍的。再聚焦到L3水平，学生不能理解题目中两个框内的提示，不明白提示的用意，不知道对应数学语言所指向的数据间关联是什么。

（2）作为一类“差对应”的模型题，学生未掌握数量关系。

由图2可知，前四个水平层次78%的学生对“差对应”的结构是不理解的，他们不明确数量关系，不知道为了解决这个问题需要哪些关系量，即使是处于L3层级的学生也只是碎片化地、机械性地算出个别的量，而不是有意义地系统性思考。

（3）作为一种抽象化的生活情境，学生无个体体验的感受。

由于学生缺乏实际的生活体验，题目中天数的“迟”“提前”对于学生来说这样的变化也是抽象的，再转化成变化中的工作总量也存在一定的难度。

基于以上分析，我们需要思考，怎样实施和开展小学中段解决问题能力的培养？模型思想作为数学本质的支撑怎样为教学实践提供指导？

三、概念梳理

本研究将“模型思想”定义为，借助反映特定问题或特定具体实物系统的数学结构，形成解决数学问题的思想方法和意识。并通过以下关系图展示如何基于模型思想提高学生解决问题的能力。

从属性上看，作为应用问题，读题审题时需要对文字信息进行提取解读；从本质上看，数学模型的建构是数学知识、数量关系的系统整合，需要思考、辨认、选取特定的解决问题的方法；从意义上看，学生解题时常需反思、检验过程与步骤的合理性，且对自己能力水平有一定的了解。

四、培养策略

（一）“文字信息提取”针对“应用问题”

解决问题的前提是面对文字（有时是表格、图画、情景对话、图文结合等）信息。作为应用题，如果能读懂题目、排除文字理解的干扰，答题情况又将如何？于是在问法上做了轻微直白的改动。

图3

图4

以原题处于L0、L1水平（这两个小题原得0分和1分）的学生（占全体样本的28%）为再次测试的对象，图4正确率明显优于原题：这28%的学生中有47%的学生能做对图4。截取一位同学的两次作答过程：

可见，对信息的理解、提取能力在一定程度上制约了学生解决问题能力的发展。而加强读题、审题、获取信息等能力的培养，下图给出了三个节点性的建议。

（二）“模型建构整合”落实“数学模型”

张奠宙教授在接受采访时提到，就许多小学数学内容来说，本身就是一种数学模型……我们每堂数学课都在建立数学模型。从本文开头的统计结果来看，处于L0～L3这四个水平层次的学生（占比78%）都是对“差对应”模型不理解。突破这个难点的前提，是不能寄希望于遇题解题地碎片化处理方式，学习就是由一个概念向另一个概念过渡。本文梳理了浙教版新思维小学数学教材体系，提炼出以下几个教学节点。

三年级上册：在①到②的变化过程中观察差的变化规律，学生提炼出天平两边“立方体和球各一个，质量相差一个20克，如果两边各两个其质量相差两个20克”。

三年级下册：在基本应用问题的数量关系已掌握的基础上，实物图可以帮助找对应的差。

在数量相同的情况下，两种帽子的单价差是造成总价差的原因，学生提炼出如下的关系句式：一顶帽子相差一个7元，2顶帽子相差两个7元……n顶帽子相差n个7元。

四年级上册：教材中以例题的形式正式引入“差对应”的模型。

第三次呈现的“差对应”问题已不再是正向的了，即已知“每份差”与“总差”，求“份数”。这对学生来说是思维方式上的第一次改变，也在应用中再次巩固该模型。

四年级上册：“鸡兔同笼”属于“两积之和”问题，但本质上也是一种“差对应”问题：先用假设法算出总腿数，然后与实际情况进行对比，找出腿的总差；再找出每份差；最后用除法算出份数（即兔或鸡的只数）。

四年级下册：“负数”对理解盈亏问题的“总差”作用很大。

螺旋上升的“差对应”知识点在浙教版教材体系中经历了五次渗透，后续四下“方程”的教学还能为大部分学生找到新的出路（可通过正向等量关系列出方程并求解）。教学中每个阶段节点做到有机整合，形成系统的线性结构，以此实现学生数学模型建构整合能力的提升。

（三）“元认知反思”指向“个体体验”

学生对毫无生活经验的问题情境的体验代入感较差。以下再试也证实了这一点：将原题“做零件”情境换成“送冰箱”。另外在求“总量差”的问题上调高了难度（原题两次总量都是720个，数据相同在求“总量差”的时候只能用加法，而改编题两种运送冰箱的总量分别为400台、1200台，这两个数既可相加也可相减）。

车队往商店送电冰箱，若每次送80台，则还要比计划多送5次才能送完；如果每次送120台，则可以比计划少送10次就能送完。

（1）“比计划多送5次才能送完”，这5次送了多少台电冰箱？

（2）“比计划少送10次送完”，如果送满计划次数，还可以送多少台电冰箱？

（3）问这批电冰箱一共有多少台？

这一改变带来了不同的结果：原题第（3）题错的学生再次测试改编题，45.5%的人正确。再对正确的学生进行随机访谈，无一例外回答：改编题比原题简单，我能读懂后来这道题所表述的事。接着又分析了另外54.5%人的错因，除了束手无策，绝大部分错在求“总量差”时用了减法（见下图）。

可见，学生产生解题障碍的原因除了模型本身，还有问题情境。然而数学模型原本就是基于现实问题进行抽象，不可能只遇到熟悉的情境。但如果教学时能够启发学生养成将结果代入原题数据进行检验的习惯，就会对答案进行质疑，并反思解题过程中的关键步骤：“每份差”肯定是对的，那么只能是“总量差”的计算发生了错误，再回到题目圈出关键词，发现“多送”与“少送”形成的差是需要相加的。因此反思自己的解题过程是一种元认知水平的体现。

其次，本文开头所呈现的分析结果中的水平层次表格，是教师在评价教学质量时的量化形式，其实也可以作为课堂教学的一种反馈方式呈现给学生，让学生明白自己在班级中所处的水平、知识掌握到何种程度、通过怎样的方式向更高水平进阶……