文书明，刘建，李成必，夏晓鸥，邓久帅

矿石碎磨能耗数学模型

文书明1，刘建1，李成必2，夏晓鸥2，邓久帅1

(1. 昆明理工大学 国土资源工程学院，云南 昆明，650093；2. 北京矿冶科技集团有限公司，北京，100160)

根据矿石碎磨过程中能量输入和消耗的一般规律，以破碎比和磨矿比为自变量，能耗为因变量，经过条件假设，推导出矿石破碎和磨细所需要的能耗与破碎比和磨矿比之间的统一数学模型。研究结果表明：矿石碎磨能耗与破碎比和磨矿比的次方成正比，对于破碎和磨矿阶段，对应的指数分别为1和1/2；破碎和磨矿的能耗系数与矿石极限应力、弹性模数、密度、比表面能等力学性质有关；通过碎矿设备生产能力计算的经验公式和邦德功指数经验公式证明了所推导的数学模型的正确性；基于该模型和碎磨能耗最低原理，获得碎磨能耗最低时矿石最佳入磨粒度计算公式。

碎磨能耗；入磨粒度；数学模型

1 矿石破碎磨矿能耗的数学模型

1.1 矿石破碎磨矿能耗的通用数学模型

众所周知，矿石破碎和磨细的程度可以用破碎比和磨矿比来衡量：破碎比和磨矿比越大，能耗越高；破碎比和磨矿比越小，能耗越低。当矿石性质、设备类型、工艺参数相同时，根据数学分析原理，碎磨能耗的这种正相关关系可以用1个连续、可积、可导的数学表达式来表示：

根据量纲分析，式中系数具有能耗的单位，指数为量纲一指数。由式(3)可知：将粒度为f的矿石破磨至粒度为0 μm时，需要的能量为无限大，这与实际相符合。

1.2 矿石破碎及磨矿各阶段能耗的半经验公式

1.2.1 矿石破碎能耗的半经验公式

在矿石破碎阶段，破碎机提供的能量首先使矿石发生变形，变形至矿石的极限时发生破裂。由于破裂的发生，矿石与矿石之间、矿石与破碎机施力部件之间位置突然发生变化，破碎机对矿石的施力消失，破碎矿块的变形恢复，对外以声音、震动、放热等形式释放能量，部分能量转化为新生的表面能，这就完成了1次破碎。随着破碎机施力部件进一步压缩矿石，破碎的矿石之间距离缩短，再一次承受压力，承受压力的矿石又开始变形，直至破碎，实现第2次破碎。在1个破碎周期内，矿石发生多次破碎，最终使得矿石的粒度变小，达到要求的破碎比。

根据矿石应力与应变的关系，对于体积为的矿石，第1次破碎需要消耗的能量为[15]

若第1次施力就将体积为的矿石破碎到要求的粒度，则破碎能耗是最低的。若第1次施力只能产生1块要求粒度的矿石，则要使体积为的矿块全部破碎到要求的粒度，需要次施力(为破碎比)，需要的破碎能耗将是最大的，由此可知矿石破碎需要的最大能耗max为

1.2.2 矿石磨矿能耗的半经验公式

在矿石磨矿阶段，磨机的能量通过磨矿介质传递给矿石，首先使矿石变形，变形到达极限时发生破碎，破碎后的矿石发生变形恢复，矿石内储存的能量转化为振动能、热能、声能和储存在永久变形中的能量，同时部分转化为新生表面的表面能，这2部分能量构成了磨矿的能耗。

破碎后矿石内储存的变形能与矿石的体积成正比。

磨矿输入的能量部分转化为变形能，即

式中：v为体积球形系数。

破碎后矿石的表面能与表面积成正比。

设磨矿能耗与矿石变形能和表面能的几何平均值成正比，则有

由式(8)可知：当f=p时，mk=0的边界条件不成立。为了使边界条件成立，在公式中加入系数，使得公式变为

由磨矿能耗公式可知：当磨矿比一定时，矿石密度越大，磨矿能耗越低；矿石弹性模量越大，磨矿能耗越低；给矿粒度越大，磨矿能耗越低，即粗磨的能耗比细磨的低；矿石表面能越低，磨矿能耗越低；矿石硬度越小，磨矿能耗越低。该公式从理论上反映出矿石密度、粒度、硬度、弹性、表面能对磨矿能耗的影响规律和定量关系。当矿石的这些物理性质都确定并已知时，就可以计算矿石磨矿的理论能耗。

通过以上的理论推导，可得矿石碎磨的能耗公式如下。

碎矿阶段：

磨矿阶段：

通用公式：

2 矿石破碎和磨矿能耗数学模型实践验证

2.1 矿石破碎能耗数学模型实践验证

在矿石破碎阶段，根据大量生产实践，选矿厂在设计时采用的破碎机生产能力计算的经验公式[18]为：

式中：为破碎机单位时间内的生产能力；4为矿石硬度系数；5为矿石密度系数；6为矿石给料粒度系数；7为矿石水分系数；s为标准状态下破碎机的生产能力；0为单位排矿口的生产能力；e为排矿口宽度与排矿粒度的关系系数。

破碎机输出的能量是一定的，排矿粒度越小，破碎机处理能力就越小，单位矿石破碎能耗就越高。如果破碎机的输入能量为z，则单位矿石破碎能耗为

上述公式在f=p时，=0的边界条件不成立。为了使边界条件成立，在公式加入1个系数，使公式变为

对比式(11)和式(6)可知：碎矿能耗公式(式(11))与理论推导的碎矿能耗模型(式(6))具有相同的形式，式(11)表示矿石破碎需要的实际能耗，而式(6)表示矿石破碎需要的理论能耗，由此证明数学模型是正确的。

2.2 矿石磨矿能耗数学模型实践验证

邦德通过大量的生产实践数据获得矿石磨矿能耗的经验公式为

式中：i为矿石磨碎的功指数。

在给矿粒度一定的情况下，邦德磨矿能耗经验公式可转化为

由此可知，邦德公式是碎磨能耗通用模型式(10)的特殊形式。磨矿能耗的生产实践表明，磨矿能耗的数学模型是正确的。

令2=2，由此可得邦德磨矿功指数为

式(13)为邦德功指数的理论计算式，在测定了矿石的表面能、极限应力、应力与应变的关系指数、弹性模数、密度后，就能计算出邦德功指数的理论值，而这些力学性能是可以检测的。此前，邦德功指数只能通过试验测定，且并无实际的物理意义，通过磨矿数学模型的推导，明确了邦德功指数的物理意义及其影响因素，且能通过物理参数计算获得功指数。

3 能耗最低的入磨粒度计算公式

根据式(6)和(14)，令碎矿的排矿粒度等于磨矿的给矿粒度，用1表示，由此可得碎矿和磨矿的总能 耗为

式中：bg为碎矿和磨矿总能耗，kW∙h/t；1为入磨粒度(80%矿石通过的筛孔宽度)，μm；f为碎矿机给矿粒度(80%矿石通过的筛孔尺寸)；p为磨机排矿粒度(80%矿石通过的筛孔尺寸)。

对式(15)求偏导数可得

式中：1为碎磨能耗最低时的入磨粒度。

由式(18)可知：碎磨能耗最低时的入磨粒度与碎矿给矿粒度、矿石弹性模量、矿石极限应力和单位表面能相关。在选矿厂设计中，在选定碎磨矿设备之前，可以通过式(18)计算矿石的最佳入磨粒度。

4 结论

4) 通过数学推导、实践验证，获得了碎磨能耗的统一模型。

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(编辑 伍锦花)

A mathematical model describing energy consumption of crush and grinding

WEN Shuming1, LIU Jian1, LI Chengbi2, XIA Xiaoou2, DENG Jiushuai1

(1. Faculty of Land Resource Engineering, Kunming University of Science and Technology, Kunming 650093, China; 2. Beijing General Research Institute of Mining & Metallurgy Technology Group, Beijing 100160, China)

According to the common law of energy input and consumption of ore’s crush and grinding, a unified mathematical model describing energy consumption of crush and grinding was deduced based on certain assumptions, in which the size reduction ratio of crush and grinding and energy consumption were used as independent and dependent variables, respectively. The results show that energy consumption is in proportion to theth power of size reduction ratio of crush and grinding stage, andis 1 and 1/2 for the crushing and grinding stage, respectively. Energy consumption coefficient in the model is related to the properties of ore, such as ultimate stress, modulus of elasticity, density of ore, specific surface energy and etc. The model validity is confirmed by the results calculated by the widely used empirical formulas of crushing equipment production capacity and the Bond work index. Based on the model and the lowest energy consumption principle, the optimal particle size which is fed to grinding at lowest energy consumption is determined.

crushing energy consumption; grinding particle size; mathematical model

10.11817/j.issn.1672-7207.2018.09.001

TD-05

A

1672−7207(2018)09−2115−06

2017−10−09；

2017−11−11

国家自然科学基金资助项目(51764037，51704135) (Projects(51764037, 51704135) supported by the National Natural Science Foundation of China)

刘建，博士，副教授，从事矿物加工工程理论与工艺研究；E-mail: vacation2008@126.com