李灿苹，刘大召，张莹

（1.广东海洋大学电子与信息工程学院，湛江524088；2.广东海洋大学数学与计算机学院，湛江524088）

0 引言

《信号与系统》是信息技术类专业本科生的一门重要的专业基础课程，该课程以高等数学、工程数学、电路分析等课程为基础，是后继的数字信号处理、通信原理、数字图像处理等专业课程的先修课程[1,2]，在教学环节上起到承上启下的作用。通过该课程的学习，可以让学生掌握信号与系统的基本理论和方法，提高学生运用信号和系统的有关知识去分析和解决问题的能力[3]。

在信号与系统中，连续信号是连续系统中输入输出的信号，也是离散信号的主要来源。为了对有用信号进行有效的传输和处理，工程上常常首先对连续时间信号转换为相应的离散信号（或数字信号），进行加工和处理，然后再将处理后的离散信号转换为连续时间信号[4]。而取样定理为连续信号与离散时间信号的相互转换提供了理论依据[4]。

本文从取样定理出发，针对非带限信号的取样问题，以方波为例，通过MATLAB展示了信号的取样过程，将抽象的理论进行了可视化图形演示，从而可以加深学生对取样定理的理解和掌握，激发学生的学习兴趣，提高教学质量。

1 取样定理

若f（t）为带宽有限的连续信号，其频谱的最高频率为fm，则以取样间隔m的取样信号fs（t）将包含原信号f（t）的全部信息，因而可利用fs（t）完全恢复出原信号[5]。

因此，信号f（t）取样后不丢失信息的两个条件[5]：一是f（t）的带宽应有限，即频谱在f>fm时为零；二是取

实际上，信号的取样过程是完成输入信号f（t）与取样脉冲相乘的运算。当取样脉冲为理想的冲激序列δT（t）时，则取样信号可表示为：

由于：

其频谱为：

取样信号fs（t）的频谱Fs（w）为：

由公式（5）可以看出，取样信号频谱Fs（w）是连续信号频谱F（w）的周期延拓，每隔一个取样频率ωs，重复出现一次[4]。对于满足取样定理要求的取样信号，其频谱只是周期重现且不会产生混叠，能恢复出原信号。但对于非带限的连续信号，取样后其频谱会产生混叠，主周期内的频谱形状将发生失真，较难恢复出原信号。

2 方波的取样

根据取样定理，对非带限信号的取样，为了防止频谱混叠，在取样前须加前置低通滤波器，用于滤掉截止频率以上的信号，如图1[5]所示。

图1 非带限信号取样过程

以方波信号为例，实现图1的取样过程。输入信号如图2（a），其中 f(t)=1，(0

图2 取样过程中的信号及滤波器

为了对比加前置低通滤波器前后取样信号的频谱，先通过MATLAB实现图2（a）方波信号的频谱和直接取样后的频谱，程序[5]如下：

clear all

syms t w f;

f=1.0*exp（-j*w*t）;

F=int（f,t,0,1）;

F=simplify（F）;F

subplot（2,1,1）,

low=-26*pi;high=-low;

ezplot（abs（F）,[low:0.01:high]）;grid on

axis（[low high-0.1 1.0]）;xlabel（'omega'）;ylabel（'振幅'）;

title（'方波的频谱'）;

subplot（2,1,2）,

Ts=0.2;

w0=（2*pi）/Ts;

for k=-2:2

ft=f*exp（-j*w0*k*t）;

FT=int（ft,t,0,1）;

ezplot（（1/Ts）*abs（FT）,[（-16*pi-k*w0）:0.01:（16*pik*w0）]）;

hold on

end

axis（[low high-0.1 5.1]）;xlabel（'omega'）;ylabel（'振幅'）;

grid on

title（'信号直接取样后的频谱'）;

程序运行结果如图3所示。

图3 方波信号的频谱及直接取样后的频谱

从图3可以看出，方波信号的频谱（图3a）为Sa信号形状，频带范围较宽，以取样周期Ts=2s进行取样后信号的频谱（图3b）是对原信号频谱（图3a）进行了周期延拓，并发生了混叠，这将影响原信号的恢复。

为了防止取样信号频谱发生混叠，在取样前加前置低通滤波器（图2b），滤掉截止频率（wc=4π）以外的频率成分。通过MATLAB实现图2（a）方波信号的频谱、滤波后的频谱及滤波后取样信号的频谱，程序[5]如下：

clear all

syms t w f;

f=1.0*exp（-j*w*t）;

F=int（f,t,0,1）;

F=simplify（F）;F

subplot（3,1,1）,

low=-26*pi;high=-low;

ezplot（abs（F）,[low:0.01:high]）;grid on

axis（[low high-0.1 1.0]）;xlabel（'omega'）;ylabel（'振幅'）;

title（'方波的频谱'）;

subplot（3,1,2）,

ezplot（abs（F）,[-4*pi:0.01:4*pi]）;grid on

axis（[low high-0.1 1.0]）;xlabel（'omega'）;ylabel（'振幅'）;

title（'信号经过低通滤波后的频谱'）;

subplot（3,1,3）,

Ts=0.2;

w0=（2*pi）/Ts;

for k=-2:2

ft=f*exp（-j*w0*k*t）;

FT=int（ft,t,0,1）;

ezplot（（1/Ts）*abs（FT）,[（-4*pi-k*w0）:0.01:（4*pik*w0）]）;

hold on

end

axis（[low high-0.1 5.0]）;xlabel（'omega'）;ylabel（'振幅'）;

grid on

title（'滤波后取样信号的频谱'）;

程序运行结果如图4所示。

从图4中可以看出，方波信号频谱（图4a）经过截止频率为4π的低通滤波器滤波后的频谱（图4b）带宽变窄，对滤波后的信号以取样周期Ts=2s进行取样，其频谱（图4c）同样也发生了周期延拓，但并不混叠，所以可以恢复出原信号。

3 课堂教学效果

将以上内容应用到课堂教学中，第1次课首先讲述取样定理内容，理想取样公式；然后引入图1所示非带限信号的取样过程，给出图2所示已知条件；最后要求学生通过MATLAB程序完成此取样过程。

图4 方波信号的频谱及其低通滤波后和取样后的频谱

第2次课查看学生完成情况，再讲解以上两段程序，并演示程序运行结果。通过图3和图4讲解非带限信号的取样过程，对比分析加前置低通滤波器前后取样信号频谱的变化，由此强调取样定理的重要性。图形化演示教学进一步加深了学生对取样定理的理解和掌握，同时，也加强了学生MATLAB编程能力的锻炼。

4 结语

本文首先论述了信号与系统课程的重要性，然后以取样定理和理想取样理论为依据，针对非带限信号的取样问题，以方波为例，利用MATLAB实现了方波信号的频谱、直接取样后的频谱、加前置低通滤波器后信号的频谱。将抽象的理论进行了可视化图形演示，更加直观地对比了加前置低通滤波器前后取样信号的频谱特点，从而加深了学生对取样定理的理解和掌握，激发了学生的学习兴趣，收到了良好的教学效果。