Ai-半环簇自由对象模型的刻画

2018-10-09王爱法王丽丽

厦门大学学报（自然科学版） 2018年5期

关键词：同态子集定理

王爱法，王丽丽

(1. 西北大学数学学院，陕西西安710127；2. 重庆理工大学理学院，重庆400054)

1 预备知识

设(S,+,·)是一个(2，2)-型代数.若(S,+,·)满足：

(i) (S,+)和(S，·)都是半群，

(ii) (S，+，·)满足等式x(y+z)≈xy+xz和(x+y)z≈xz+yz，

则称(S，+，·)是半环.进一步，如果(S，+)是一个半格，则称(S,+，·)为ai-半环.在ai-半环(S,+，·)上，可以自然地引入偏序关系≤：

a≤b⟺a+b=b.

一个典型的ai-半环是半格的自同态半环.事实上，每一个ai-半环都可以嵌入到某一个半格的自同态半环中.众所周知，所有的ai-半环形成一个簇.近年来，关于ai-半环特别是ai-半环簇的研究已经成为半环理论的一个研究热点，取得了一系列重要的研究成果[1-8].特别地，一些学者对某些ai-半环簇的自由对象进行了刻画，给出了由某些特定等式所确定的ai-半环簇的自由对象的模型[6-7，9].特别地，在文献[7]中，该文作者引入了如下的ai-半环簇的自由对象.

令S是一个半群.用P(S)和Pf(S)分别来表示S的所有子集的集合和所有非空子集的集合.在P(S)上定义运算：A+B=A∪B，AB={ab|a∈A,b∈B}，则P(S)和Pf(S)在上述运算下形成ai-半环.事实上，若X+表示非空集合X上的一个自由半群，则Pf(X+) 是ai-半环簇中相对于映射k:X→Pf(X+),x→{x}的自由对象.

设Sg(m,2,1)表示由附加恒等式(x1x2…xm)2≈x1x2…xm定义的半群簇，Sr(m,2,1)表示由附加恒等式(x1x2…xm)2≈x1x2…xm定义的ai-半环簇.近年来，一些学者对Sg(m,2,1)和Sr(m,2,1)进行了研究.例如，2002年，Ren等[6]利用半群的闭子半群给出了Sr(1,2,1) 中自由对象的模型.2005年，Pastijn等[2，5]证明了Sr(1,2,1)的所有子簇形成一个78阶的分配格，并且证明了这个簇的每一个子簇都是有限基底和有限生成的.

本文中引入半群的(m,2,1)-闭子半群的概念，并利用Sg(m,2,1)的自由对象来构造Sr(m,2,1)的自由对象.其结果将推广和丰富文献[6-7]中的结果.以下，用[n]表示集合{1,2,…，n}.其他概念和术语，读者可参考文献[10-12].

2 Sr(m,2,1)的自由对象

令S是一个半群，M⊆S，称M为S的(m,2,1)-闭子集，如果

pai11ai22…aimmq∈M(∀p,q∈S1,ai11,…,aimm∈S，i1,…,im=1,2)⟹pb11b12…b1mb21b22…b2mq∈M(∀bs∈{ai|∀∈[m]},s=1,2,∈[m]).

特别地，当m=1时，M即为文献[6]中引入的闭子集：称M是S的闭子集，如果对任意的p,q∈S1,a1,a2∈S，pa1q,pa2q∈M⟹pa1a2q∈M.显然，M是闭子集当且仅当M是(1，2，1)-闭子集.设A是半群S的一个子集.容易验证，S的所有包含A的(m,2,1)-闭子集(至少，S是一个包含A的闭子集)的交集仍然是S的一个(m,2,1)-闭子集并且是包含A的S的最小的(m,2,1)-闭子集.本文中称其为由A生成的S的(m,2,1)-闭子集，记作[A].如果A是一个有限子集，则称[A]是有限生成的.

引理1令S是一个半群且A是其子集.定义A(k)(k≥0)如下：

1)A(0)=A;

2)A(k+1)={pb11b12…b1mb21b22…b2mq|p,q∈S1，ai1,ai2，…，aim∈S,i1,…,im=1，2，pai1ai2…aimq∈A(k),bs∈{ai|∀∈[m]},s=1,2,∈[m]}∪A(k).

则对任意的A，B∈P(S)，有

(i)A(0)⊆A(1)⊆…⊆A(k)⊆A(k+1)⊆…;

(ii)A⊆B⟹(∀k≥0)A(k)⊆B(k);

证明(i) 是显然的.

(ii) 令A⊆B.当k=0时，显然有A(0)⊆B(0).假设k≥0且A(k)⊆B(k)，证明A(k+1)⊆B(k+1).令x∈A(k+1)，需要考虑下列两种情况：

1)x∈A(k).因为A(k)⊆B(k)，有x∈B(k).由B(k)⊆B(k+1)可以推出x∈B(k+1).

2)x=pb11b12…b1mb21b22…b2mq,p,q∈S1，ai1,ai2,…,aim∈S，pai1ai2…aimq∈A(k),i1,…,im=1,2,bs∈{ai|∀∈[m]},s=1,2,∈[m].因为A(k)⊆B(k)，有{pai1ai2…aimq|ai1,ai2,…,aim∈S，i1,…,im=1,2}⊆B(k)，因此x=pb11b12…b1mb21b22…b2mq∈B(k+1).

从而证明了A(k+1)⊆B(k+1).由归纳法可知，对任意的k，都有A(k)⊆B(k).

1)x∈A(k).因为A(k)⊆M，有x∈M.

2)x=pb11b12…b1mb21b22…b2mq,p,q∈S1，ai1,ai2,…,aim∈S，pai1ai2…aimq∈A(k),i1,…,im=1,2,bs∈{ai|∀∈[m]}，s=1,2,∈[m].由A(k)⊆M，得到{pai1ai2…aimq|ai1,ai2,…,aim∈S，i1,…,im=1,2}⊆M.因为M是(m,2,1)-闭子集，从而可推出x=pb11b12…b1mb21b22…b2mq∈M.

引理2令S∈Sg(m,2,1)，则对任意的k和A,B,C∈P(S),

A⊆B(k)⟹AC⊆(BC)(k),CA⊆(CB)(k).

证明由对偶原理，只需要证明对任意的k和A,B,C∈P(S)，

A⊆B(k)⟹AC⊆(BC)(k).

当k=0时，如果A⊆B(0)，则A⊆B.进一步，有AC⊆BC.从而推出AC⊆(BC)(0).假设k≥1且A⊆B(k).令a∈A，c∈C.因为a∈B(k),只需要考虑下列情况:

1)a∈B(k-1).由假设知ac∈(BC)(k-1),又由(BC)(k-1)⊆(BC)(k)可得ac∈(BC)(k).

2)a=pb11b12…b1mb21b22…b2mq,p,q∈S1,ai1,ai2,…，aim∈S，pai1ai2…aimq∈B(k-1),i1,…,im=1,2,bs∈{ai|∀∈[m]},s=1,2,∈[m].显然，{pai1ai2…aimq|ai1,ai2,…,aim∈S,i1,…,im=1,2}⊆B(k-1).由假设有{pai1ai2…aimqc|ai1,ai2,…,aim∈S,i1,…,im=1,2}⊆B(k-1)，从而可以得到ac=pb11b12…b1mb21b22…b2mqc∈(BC)(k)，因此有ac∈(BC)(k).从而有AC⊆(BC)(k).

由归纳法可知结论成立.

令S是一个半群.在Pf(S)定义二元关系ρ如下：

(A,B)∈ρ⟺[A]=[B].显然，ρ是Pf(S)上的一个等价关系.事实上，有

定理1令S∈Sg(m,2,1)，则ρ是Pf(S)上的一个半环同余且Pf(S)/ρ∈Sr(m,2,1).

证明令A，B，C∈Pf(S)且(A,B)∈ρ.要证明ρ是一个半环同余，只需证明(A∪C，B∪C)∈ρ,(AC,BC)∈ρ和(CA，CB)∈ρ.

要证Pf(S)/ρ∈Sr(m,2,1)，只需证A1,…,Am∈Pf(S)，((A1…Am)2，A1…Am)∈ρ，即，[(A1…Am)2]=[A1…Am].令bi∈Ai，这里i∈[m]，则b1…bm=(b1…bm)2∈(A1…Am)2.因此A1…Am⊆(A1…Am)2，进一步有[A1…Am]⊆[(A1…Am)2].如果x∈(A1…Am)2，则存在ai1ai2…aim∈A1…Am,ai1,ai2,…,aim∈S，i1,…，im=1,2,bs∈{ai|∀∈[m]},s=1,2,∈[m]使得x=pb11b12…b1mb21b22…b2mq.因为pb11b12…b1mb21b22…b2mq∈(A1…Am)(1)⊆[A1…Am],所以x=pb11b12…b1mb21b22…b2mq∈[A1…Am].因此(A1…Am)2⊆[A1…Am]并且[(A1…Am)2]⊆[A1…Am].因此得到[(A1…Am)2]=[A1…Am].

引理3设(S,·)∈Sg(m,2,1),(T,+,·)∈Sr(m,2,1)，令φ是由半群S到半环T的乘法导出半群上的一个半群同态，则对任意的自然数k及A，B∈Pf(S),有