江苏省苏州工业园区第一中学 崔海祥

本课例是苏州工业园区教发中心组织的一节研讨交流课，所使用的教材是“苏科版《义务教育课程标准实验教科书·数学》九年级下册第5章第3节《用待定系数法确定二次函数表达式》”。2017年10月，我校张艳老师开设了《用待定系数法确定二次函数表达式》一课，课后，区教师发展中心数学教研员王晓锋老师对这节课进行了点评，现对这节课的课堂教学过程简录如下，并根据笔者听课与评课的体会进行评析，与大家交流。

片段一、知识回顾，铺垫准备

师：前面我们学习了用待定系数法确定一次函数、反比例函数的表达式，请大家回忆：一次函数和反比例函数的一般形式是什么？各有几个未知系数？

【评析】教师的教学是以学生的认知发展水平和已有的经验为基础展开教学的，大家一致认为张老师的引入是非常合理的，通过回顾一次函数与反比例函数的知识，强调函数表达式中的未知系数问题，为今天的课题埋下了伏笔！学生踊跃回答问题的良好表现为该节课的顺利完成开了好头。

片段二、“低起点”带来全员参与

问题1：已知二次函数y＝ax2的图象经过点(-2,8）,求a的值。

师：该函数表达式有几个未知系数？

生1：只有一个未知系数a。

(教师板书，学生在下面练习)

问题2：已知二次函数y＝ax2+c的图象经过点(-2，8)和(-1，5)，求a、c的值。

师：该函数表达式有几个未知系数？

生2：有两个未知系数a和c。

(教师板书，学生在下面练习)

问题3：已知二次函数y＝ax2+bx+c经过点(-3，6)、(-2，-1)和(0，-3)，求这个二次函数的表达式。

师：该函数表达式有几个未知系数？

生3：有三个未知系数a、b、c。

(教师板书，学生在下面练习)

【评析】在评课时，大家一致认为张老师的教学起点较低，非常符合学生的学习情感。教育家苏霍姆林斯基说过：“情感如同肥沃的土壤，知识的种子就播种在这片土壤上，种子会萌发幼芽，孩子边认识边干得越多，激动情感体验得越深，他就想知道更多，他的求知渴望、钻研精神、学习劲头也就越强烈。”是的，张老师在问题1中设置了只含有一个未知系数的问题，虽然很简单，但这样的设计使得班级里几乎所有的同学都“动”了起来，问题2是在问题1的基础上进行了一个提高，设计了两个未知系数，学生只需要解一个二元一次方程组，感觉非常简单，学生的学习热情得到了调动。问题3张老师设计得更为合理，虽然表面上看是一个三元一次方程组问题，但是这里给出了一个点（0，-3），也就是纵轴上的点，完全回避了三元一次方程组的解答，张老师非常清楚这节课的教学重点是“如何在给定条件下求二次函数表达式”，而不是“解三元一次方程组”，何况“解三元一次方程组”在课标上属于选学内容，因此在我们的平时教学中，首先明白“教什么”是非常重要的。

问题4：已知抛物线的顶点为(-1，-3)，且过点(0，-5)，求抛物线的表达式。

生4：由于顶点已知，可以假设二次函数的顶点式y＝a(x+1)2-3（a≠0）。

师：此时的表达式中还有几个未知系数？

生5：还有一个系数a未知。

师：请说一下解题过程。(学生说教师板书)

问题5：已知二次函数的图象经过坐标原点，且当x＝1时，y有最小值-1， 求这个二次函数的表达式。

(学生思考，有想法的同学陆续举手)

师：我发现还有几位同学对这道题还没有想法，现在我找位还没有想法的同学，请生6回答这个问题。

(此时大部分学生看着生6，生6非常紧张，毕竟自己不会)

师：不用紧张，我们首先来一起审题，请大家一起和生6将这道题齐声朗读一遍。

师：（追问）对于题目中的“当x＝1时，y有最小值-1”，你想起了我们前面学的二次函数的哪个性质？

生6：二次函数的最值。

师：（启发）那是不是就相当于题目中已知了顶点的坐标为(1，-1)？

生6：是的，这样就可以假设顶点式了。

师：非常好，大家给生6点掌声。

【评析】张老师在上课时非常关注学生的学习情感，当发现有学生不理解时，她并不是一味地让会做这道题的学生回答，而是采取了师生互助，锻炼学生克服困难的意志，从而建立学生学习数学的自信心，体验获得成功的乐趣！从这个意义上讲，张老师在课堂教学时做到了“课堂教学以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式。”

片段三、启发式教学带来“高收益”

问题6：如图，二次函数的图象经过点(-1,0)，(3，0)，(1，-4)，求此二次函数的关系式。

师：如何求这个二次函数的表达式？(学生在下面思考，教师课堂巡视)

生7：用一般式。

师：很好，有没有不同于生7的想法？

生8：我用的是顶点式，假设该函数表达式为y ＝ a(x-1)2-4。

师：你的依据是什么？

生8：因为给的点(-1,0)，(3，0)是两个对称点(函数值都为0)，根据对称性得到该抛物线的对称轴是直线x=1，所以顶点的横坐标是1，所以(1，-4）这个点就是顶点。

师：非常好，生8同学利用“顶点本质是抛物线与对称轴的交点”这一性质发现题目中的点(1，-4)就是顶点，从而利用顶点式来求解。(老师此时留白，让学生在下面回味这样的解法)

师：还有不一样的解法吗？

生9：我用的是交点式，可以假设函数解析式为y ＝ a(x+1)(x-3)。

三、引入生活的概念应用

师：大家比较一下，这样的三个方法中，哪个方法更好？各有什么优缺点？(学生在下面各抒己见)

【评析】该题是思维含量非常丰富的一道题，有学生用的是一般式，例如生7，张老师在上课时首先用语言表扬了这些同学的方法是对的，并没有花费时间让这些同学“展示”解题的具体过程，也巧妙回避了学生可能遇到的问题——“三元一次方程租的解法”，然后张老师继续追问：有没有不一样的解法？学生的思维也被带动了起来，生8用的是顶点式，因为前面刚说过顶点式，并且该生从点（-1,0），（3,0）发现对称轴是直线x=1，所以得到顶点的横坐标是1，从而（1，-4）就是顶点，此时学生得到精神上的满足。张老师继续追问，又有学生发现给的点（-1,0），（3，0）是与x轴的交点，因此可用交点式，此时整个课堂师生之间充满了共鸣，这样的共鸣是通过教师一步步引导而来的，教师真正做到了把时间交给学生，让学生成了课堂里的学习主体，教师是引导者、组织者，教师的教学真正做到了面向全体学生，注重启发式和因材施教。

本课例给笔者最大的感受是我们教师在平时的教学过程中首先应该明白“教什么”，也就是要明确教学目标和教学重点，例如，在以往的听课过程中，这一课时会有老师为了“解三元一次方程组”而花费很多的时间，偏离了本节课的教学目标；其次，为了达到教学目标，教师应该“怎么教”，也就是教学手段和教学方法。例如，在本课例中，张老师的课堂教学做到了“低起点”，从一个未知系数开始入手，面向全体学生，然后慢慢深入，从一般式过渡到顶点式，再谈到交点式。这样的课堂教学又确实是 “高收益”的，让学有余力的同学享受了数学所带给他们的精神乐趣，做到了因材施教。