侯元军

【摘要】数学基础所积累的思维方式运用到对空间格子的认识，回顾便可得知，思维发展之初已在数学学习的进程中遵循了“点”的聚集，由此形成的空间思维，不过是“点”的有序排列，只是结晶学学习在数学的基础上更加强化空间意识。

【关键词】点线面 空间格子 对称轴 定向

结晶学具有的空间性、抽象性、逻辑性等特点，对其认识的一个简单方法从数学知识入手，甚至可直接运用数学知识来支撑对晶体的认识或研究。

数学知识从自然数开始扩大到正整数，每个数字的表示可看作“点”的标记，1、2、3、4、5……，“加减乘除”四则运算实际上可以看作是对“点”混合认识。其后，是分数，在之前的基础上上了一个台阶，“点”可以进一步切割划分，甚至可以无休止地划分下去，基于仅为运算这一单一目的，知识结构仍停留在“点”的范围内。“点”是混沌的，可看作任何方向都是同一的，也即无方向性或异向性。

升级到数轴学习，规定了方向性，以“零”为界线即有正有负之分，实则因一条数轴的具有方向性，由单一的“点”上升到了“点”与“点”的联结而形成的“线”。线段是只有长短的标量，射线是既有长短又有方向的矢量，再到数轴有正有负方向且延伸，实际上建立起了一个方向性维度，思维也就由“点”延伸到“线”。然后，再需把两条“线”联系起来使之相互垂直，形成“线”与“线”之间由无数“点”来展布，构成了平面直角坐标的二个维度，此二维度既可讨论“线”也可讨论“面”的问题，这是解析几何学内容。在此基础上，由原点发出与前两条相互垂直的第三条射线，可看作原先沿展的平面被拉伸拔高，建立了三维的一个可容纳“体”的空间，此空间充满了无数的“点”构成的“线”或“面”，以及由“面”构成的“体”。数学学习的进程可看作“点”的立体聚集，也可当作结晶学学习的起点。

自然界的矿物质，绝大多数以结晶质体形态出现。顾名思义，结晶就是矿物质点（离子、原子、分子等）在三维空间有规律、重复排列，形成了具有封闭的几何多面体外形的物体。正因为晶体的内部质点在三维空间成周期性重复排列，其内部形成了晶体的格子构造。学习过程中，为便于简洁明了地认识晶体形象，把其中相同位置的质点抽象出来，组成的等位点联系起来即结晶学中所谓的空间格子，且“点”与“点”之间以不可或缺物质健的联结。其实，数学基础上所积累的思维方式运用到对空间格子的认识，回顾便可得知，思维发展之初已在数学学习的进程中遵循了“点”的聚集，由此形成的空间思维，不过是“点”的有序排列，只是结晶学学习在数学的基础上更加强化空间意识。

结点是空间格子相当的点，在实际晶体中，结点的位置为同种质点（离子、原子或分子）所占据，但结点本身并不代表任何质点，它仅仅是一个几何点。

结点在一条线上形成了行列，行列上相邻两个结点之间的距离构成了结点间距，同一行列上结点间距都相等，且相互平行的行列其结点间距亦相等。

结点在平面上的分布构成面网。面网中单位面积内结点的密度即面网密度，在同一面网内面网密度相等。空间格子中任意不在同一行列上的结点就可以连结形成一个面网。相互平行的面网，面网密度相等，而不平行的面网，面网密度一般不相等。相互平行且相邻的两个面网之间的垂直距离构成面网间距。

由一个维度的结点，到行列由“点”组成了“线”，再到由“线”一行列组成的面网，再到由三个维度的面网组成了“体”，即结晶体。

結晶学中对结点组成的“体”进行了详细剖析研究，仅由8个结点就可联结形成单位平行六面体，空间格子的形状，可由平行六面体来表示。其联结方式出现各具特色的7种原始格子（立方格子、四方格子、斜方格子、单斜格子、三斜格子、六方格子、菱面格子）。又因为格子构造中的面、体上还可能出现结点，也就多了几种形式的面心、体心、底心等三类格子特征，统共组合成14种布拉维格子，这量化性地探讨了结点所组成格子的形态问题。结点、棱、面网之间的有序规律，可用点之间的距离、棱之间的夹角来约束，作为晶胞参数的a。，b。，c。分别表示三条菱的绝对长度，也即结点到结点的距离。a、β、y分别表示三条菱之间的夹角。

晶体的雏形可看作是单位平行六面体，即晶胞。晶胞固有形态在三维空间的特征，引入晶胞参数量化标定格子形态，现代矿物学已经可以借助精密仪器测试实际晶体的晶胞参数。

物质结晶时首先形成晶胞，质点按照自身结晶特点进行排列，其格子构造也即形成。在理想状态下，结晶体总是按照其固有特性长成封闭的几何多面体，即晶体自限性的外形表现。晶体几何特征是固有的，这取决于结晶体本身。即便生长环境不理想状态下晶面有可能发育不完善，但其看似不完善的或有缺损现象的晶面同样遵循面角恒等法则，究其缘由仍是质点有序排列。

晶体内、外部对称这一特点而开展对称性进行研究，可藉助一些假想的对称轴、对称面、对称中心进行对称操作，并且分析后得出不同的对称型，

自然界中，对称型相同却长成形态各异的晶体不少，仅由对称型分析尚不够精准，无法从同一对称型明确了解晶体具体特征。针对各个晶体的晶面出露状况，还需解析分析。晶体形成各方位的自限表面，都可看作晶面总在一定的空间上占据一定的位置。但它们占据何方位置，如何在空间展布的，这便引出了对晶体定向的问题。对称操作所建立起来的空间思维量化，即每个晶面在空间分布状况分析必需建立三维坐标系。

晶体的定向，需选择一定的对称轴作为晶轴，晶轴选择的原则较便捷地为晶面研究提供技术手段，事实上也是一种较为直观简单的分析方法。三维直角坐标轴与晶体对称轴重合是最佳选择方案，通过晶体中心建立起来的对称轴当作坐标轴，既直观又简洁。而对于较低等级的单斜、三斜晶系，则需要选择三条棱尽量接近垂直或晶面的法线作为定向所用的坐标轴。

晶面以结点间距的整数倍向外推移，总在三维空间自由展布。占据一定位置的晶面需要标定其特有的空间特征。一个晶面在三维坐标系中，与某一晶轴相交，产生对应截距，不相交就无截距。数学的无穷范围内，不相交可看作无限延伸而且截距系数无穷大，无穷大分之一则为零。在各晶轴上若有截距，说明与此轴相交，无截距说明与此轴不相交，晶面平行而过。可利用简单的截距系数倒数比表示（100）面，说明x轴上相截，与Y、Z轴截距为无穷大，亦即与Y、Z轴平行。特例对于三方晶系、六方晶系，在一个平面内设立三轴，其夹角为120°，此三轴与一根竖直的轴垂直。

立体解析几何需确定几何面在空间的位置， 用坐标来标识。把晶体放入立体晶轴中，用晶面在空间位置上分别与x、y、z的截距系数来表示。通过晶面与晶轴的截距来确定每一晶面的坐标特征，这方法简单、直观，即米氏符号的应用，晶面在晶轴上的截距系数倒数比表示。

从点到面，从面到体，从体的对称分析，再到晶面的定向分析，实际上是思维的一次次转换跃升。由混沌的数字，到一维线性，到二维几何面，到三维立体结构，到各面几何坐标确立，实际上也是思维的多重转化，并且促进立体的空间思维建立。所谓透视，不过是晶体的各方面在空间展布关系的直观认识，这种直观看到的不仅是一个“面”，而是体中的方方面面。所谓洞见，透过表面看到“面”背后的、深入的特性。所谓领悟，通过对一个“面”的认识，而认识“面”在“体”中的关系、作用，达到认识“体”。结晶学的学习除了沿用前人的方法来认识晶体外，实际上也是操练、发展空间思维、抽象思维的最佳课程。