徐菊萍

法国数学家韦达发现一元二次方程的根与系数之间有着某种特殊关系：如果一元二次方程的两根是x1，x2，则x1+x2=用文字语言表述为：一元二次方程中两根的和等于它的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根的积等于它的常数项除以二次项系数所得的商.我们称这个结论为韦达定理，妙用韦达定理，常常可以避开繁琐的求解，找到解题的捷径.

一、已知方程，求关于方程两根的代数式的值

例1 若方程x2-4x+1=0的两根是x1，x2，则x1（1+x2）+x2的值为________.

【解析】方程的根是无理数，若直接代入，计算繁琐.因所求涉及两根关系，可根据韦达定理，整体求得两根和与两根积：由题意得x1+x2=4，x1x2=1；同时还需把给定的代数式经过恒等变形化为含x1+x2、x1x2的形式：x1（1+x2）+x2=x1+x2+x1x2，然后再把 x1+x2、x1x2的值整体代入即可.

【答案】5.

【点评】一元二次方程问题中，出现方程的根的和与积时，常不解方程，直接运用根与系数的关系，将所给代数式恒等变形成含两根和、两根积的形式，再整体计算.

例2 设一元二次方程x2-3x-1=0的两根分别是x1，x2，则________.

【解析】因涉及两根关系，首先考虑韦达定理，但是恒等变形不能出现两根和与积的整体，再观察所求代数式中这个部分的特点，可利用方程的解的定义（方程的解是能够使方程左右两边相等的未知数的值），将方程的根代入原方程，得，再将此结果代回所求代数式=x1+x2，出现了两根和的整体，再用韦达定理.

【答案】∵一元二次方程x2-3x-1=0的两根分别是，故答案为：3.

【点评】对于涉及两根的代数式问题，要善于观……