江苏省扬州市梅岭中学九（10）班 叶初胤

在平时的学习中，我们遇到了很多用一元二次方程解决实际问题的试题.所列的一元二次方程中，一次项的系数和常数项的绝对值比较大，我们可称之为“大系数”.如何妙解含有“大系数”的一元二次方程？今天我来介绍一种“减肥法”.

下面的例题是2017年铜仁市中考试卷的第23题，题目如下：

某商店以20元/千克的单价新进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间为一次函数关系，如图所示.

（1）求y与x的函数表达式；

（2）要使销售利润达到800元，销售单价应定为每千克多少元？

【解析】本题考查了一元二次方程在销售方面的应用.

（1）需要分类讨论，分0＜x≤20与20≤x≤80两种情况，当20≤x≤80时，利用待定系数法，即可得到y与x的函数表达式.

（2）根据“每件商品的利润×销量数量=总利润”列出一元二次方程，解方程即可得到销售单价，最后按照所要满足的条件进行检验即可.

解：（1）当0＜x≤20时，y=60；

当20≤x≤80时，设y与x的函数表达式为y=kx+b，把点（20，60），（80，0）代入，可得：

∴y与x的函数表达式为

（2）若销售利润达到800元，根据题意，得：

化简为：x2-100x+2400=0，

解得：x1=40，x2=60.

答：要使销售利润达到800元，销售单价应定为每千克40元或60元.

那么如何妙解“大系数”方程x2-100x+2400=0呢？其实用公式法、配方法都是很麻烦的，能力强的同学可以直接用因式分解法——十字相乘法.

我们可以这样做：先将一次项系数除以10，再将常数项除以100（即10的平方），由此得到了新方程为x2-10x+24=0.再逆向思考或者用“十字相乘法”进行因式分解，可知：x2-10x+24=（x-4）（x-6），所以方程x2-10x+24=0易解得：x1=4，x2=6.然后将这两个根分别再乘10，就得到了原方程的解：x1=40，x2=60.