武汉理工大学信息工程学院 申俊杰

1.PCA 算法原理与实现

人脸识别中主要分量分析（PCA）是一个普遍使用的技术，首先它将一张图像的每一列的向量首尾相连，构成一个维列向量，然后转置。将L个图像的维列向量组成人脸样本矩阵，表示为：

训练样本的协方差矩阵为：

式中mf是所有训练样本的平均值向量（所有样本的平均脸）

式可进一步化简为：

对（3）式中的矩阵进行特征值和特征向量的求解，并SVD奇异值分解，构造出最终的人脸投影空间：

将Vi化为矩阵，则可以得到特征脸。

2.LDA算法原理及实现

LDA的核心思想之一是在平面内找一个合适的向量，将所有的数据投影到这个向量而且不同类间合理的分开。因为图片的特征值有很多，相当于是多维的，所以我们需要增加投影向量w的个数，设w为：

w1、w2等是n维的列向量，所以w是个n行k列的矩阵，这里的k其实可以按照需要随意选取，只要能合理表征原数据即可。x在w上的投影可以表示为：

所以这里的y是k维的列向量。这样我们就可以把多维空间中的特征值降维到一维空间

从投影后的类间散列度和类内散列度来考虑最优的w，可用μi代表类别i的中心，将类间距离定义为Sb较大，类内距离定义为Sw。为了让每个类（相当于每张图片）直接的特征值尽量少的有重叠，需要让类与类之间的距离大，而一个类内部之间的距离紧凑。因此我们可以定义：

可以化简为：

因为Sw要尽量小，而Sb要尽量大，因此可以找到合适的W让J(w)尽可能大。

3.2DLDA算法原理及实现

2DLDA从人脸图像矩阵直接得到类内和类间离散度矩阵，而不必将人脸图像矩阵转化为人脸图像向量。2DLDA估计得到的离散度矩阵比LDA方法精确。另外，由于2DLDA估计得到的离散度维数等于原始人脸图像的列数，因此，相比LDA方法得到的离散度矩阵维数小的多，从而使得求解最佳投影空间时计算量大大降低。由于2DLDA的公式推导较多，本文不在此详述，直接通过实验的结果来比较2DLDA相对于LDA的优点。

图1 成功识别

图2 识别失败

图3

4.MATLAB仿真结果分析

4.1 LDA 方法的人脸识别仿真

我们利用GUI设计可视化的界面，让实验结果更好的展示。

可以看到，当面部有偏侧的时，LDA不能很好的识别出正确的人脸，如图1、图2所示。

4.2 DLDA人脸识别实例

优化后的LDA有着更高的准确性，我们在yale的数据库中做了一下测试。在面部有偏侧和带眼镜甚至闭眼是都能准确的识别。我们还编写函数，计算了准确性，经过多次实验，准确性在97%左右，如图3所示。

4.3 基于DLDA算法的正确识别率

为了探究训练次数对DLDA准确率的影响，我们编写了相关函数，结果如表1所示：

表1

根据表1可以得到结论，当系统的训练样本个数从 5 逐步增长到9 的时候，DLDA算法的人脸识别系统的识别率也在逐渐的增大，可以得出：在设计人脸识别系统时，训练样越大，系统的正确识别率就越高，即训练样本的数量要大于每个样本的空间维数，但是这一点在实际的应用时是比较难做到的。在系统样本维数相同的前提下，基于LDA算法的人脸识别系统的正确识别率要比基于PCA 算法的正确识别率要高， 虽然PCA方法和LDA算法都可以降低原始特征空间的维数，但是PCA方法得到的特征是最佳描述特征， 而不是最佳分类特征，因此，在正确识别率方面，LDA算法要比 PCA算法优越。