康 静，邓大文

（湘潭大学 数学与计算科学学院，湖南 湘潭 411105）

Boussinesq方程组描述了不可压流体在有热对流时的流动情况，模拟大气、洋流等实际现象[1-3]。二维无粘性无热传导的Boussinesq方程组的全局正则性是个开问题，即还不清楚局部光滑解是否一定可以延拓为全局光滑解。R2和二维光滑区域上不可压Euler方程组具有全局正则性[4-6]，Kiselev和Zlatos[7]在一个有尖点的区域上，对该方程组构造了一类在有限时间爆破的局部光滑解。对无黏性无热传导的Boussinesq方程组，在上述3种区域上的全局正则性都是开问题，本文用Kiselev和Zlatos的方法，在他们使用的有尖点区域上，构造一类在有限时间内爆破的局部光滑解。

1 预备知识

我们先回忆一般二维有界光滑区域Ω上的Boussinesq方程组

其中 u=(u1(x,t),u2(x,t))是速度场，θ=θ(x,t)∈R是温度场,p=p(x,t)∈R是压力场，x=(x1,x2)∈Ω，t＞0，e2=(0,1)，n是∂Ω的单位外法向量，u在∂Ω上满足u·n=0。本文约定，(1)i指式（1）中的第i条方程，i=1,2,3。可以把式（1）写成涡量-流函数形式，令ω=为涡量，又由div u=0，知存在流函数 ψ：Ω→R ，使 u=∇⊥ψ ,其中 ∇⊥:=(-∂x2,∂x1)。由式 (1)4，可知ψ|∂Ω为常数，不妨设为0。所以式（1）可写成

可参看文献[4，8]等对Euler方程涡量-流函数形式的描述。由式(2)3和(2)4

其中GΩ(·,·)为区域 Ω 上的格林函数的负，即

其中 KΩ(x,y)=GΩ(x,y)。注意在 Ω×Ω 上，GΩ(·,·)＜ 0 ，GΩ(x,y)|x∈∂Ω=0 ，即 ∂Ω 是 GΩ(·,y)的0-等值线。所以∇xGΩ(x,y)与∂Ω垂直，指向Ω外，GΩ(x,y)与∂Ω 相切，指向反时针方向。在R2上式（1）的局部光滑解存在性定理，可参看文献[10]。我们将用到二维有界光滑区域上Boussinesq方程组的局部存在性定理：若ω和θ的初值ω0和θ0都在 C1(Ω)，则存在T＞0，使式（2）在 Ω×[0,T]上有C1解。可用类似于二维Euler方程的Yudovich定理的证明方法得到，可参看文献[5]和本文末段的概述。

以下描述本文中的尖点区域D'。……