云南省玉溪第一中学(653100) 武增明

三角形内角平分线性质定理,文字表述简洁,符号表述优美,这个十分有趣、看起来很平凡的性质,有着广泛的用途.不知出于何种原因,不知从何时起,在现行教材中消失了,已踪影全无.对于以三角形内角平分线为条件的题目,用代数方法求解往往会比较复杂,而巧妙利用三角形内角平分线性质定理,能使计算简化、思路简捷,下面举例说明.本文也旨在温馨提醒同仁和同学加强此性质的运用意识.

下面我们先看三角形内角平分线性质定理.

定理三角形内角平分线分对边所得的两条线段与这个三角形的两边对应成比例.

如图1,在△ABC中,AD平分∠BAC,AD交BC于D,则

图1

图2

证明过点B作BE//AC,交AD的延长线于E,如图 2.因为 ∠CAD= ∠BED,又 ∠BAD= ∠CAD,所以∠BAD=∠BED,故AB=BE.因为△ADC∽△EDB,所以,即,从而.

1 简求圆锥曲线的焦半径的值

例1[2](2011年高考全国II卷理科第15题(文科16))已知F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,点A∈C,点M的坐标为(2,0),AM为∠F1AF2的平分线,则|AF2|=____.

简解根据双曲线的方程知,F1(−6,0),F2(6,0),|MF1|=8,|MF2|=4,再根据三角形内角平分线性质定理得,所以,|AF1|=2|AF2|,点A在双曲线的右支上,|AF1|−|AF2|=6,所以,|AF2|=6.

评注(1)想到三角形的内角平分线性质定理,是破解此题的一个关键.(2)此题若用解析几何的方法来解答,则难上加难,几乎解不出来.

2 简求向量的表达式

3 简求三角函数值的比值

4 简求角平分线所在的直线方程

例4[2](2010年高考安徽卷文科第17题)已知椭圆E经过点A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点F1,F2在x轴上,离心率.

(I)求椭圆E的方程;

(II)求∠F1AF2的角平分线所在直线l的方程.

简解(I)解略,椭圆E的方程为

(II)由(I)知,F1(−2,0),F2(2,0),于是,|AF1|=5,|AF2|=3.设∠F1AF2的平分线与x轴交于点M.根据三角形内角平分线性质定理可得所以,得,因此,k=2,所以AM所求直线方程为y=2x−1.

5 简判断直线与圆锥曲线的位置关系

图3

例5[2](2015年高考福建卷文科第19题)如图3,已知点F为抛物线E:y2=2px(p＞0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3.

(I)求抛物线E的方程;

(II)已知点G(−1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切.

简解(I)解略,抛物线E的方程为y2=4x.

6 简求参数的取值范围

图4

例6[1](2013年高考山东卷理科第 22题)如图 4,椭圆的左右焦点分别是F1,F2,离心率为,过F且垂直于x轴的1直线被椭圆截得的线段长为1.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接PF1,PF2,设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0),求m的取值范围.

(3)略.