广东省广州市从化区第四中学(510900) 黄强

采取多种形式设计问题链,多角度挖掘课本习题潜在的性质,既可以有效避免“题海战术”,又能较好地培养学生的探究能力,这也正是新课程标准的重要理念之一.在处理课本例题和习题时,可以合理设置问题链对其进行深化、推广并综合应用,以促使学生在探索知识的过程中,拓宽知识视野,提高数学能力.

一、题源式设计问题,发现习题的性质

例已知点P和点Q是曲线y=x2−2x−3上的两点,且点P的横坐标是1,点Q的横坐标是4.

(1)求割线PQ的斜率;

(2)求曲线在点P处的切线方程.

这是新课程选修1-1中的一道习题,难度不大,学生也很容易解答,但笔者不仅仅满足学生会解该题,而是把它设置为探究性课题,采用多种形式设计问题链,继续引导学生深入挖掘其潜能,拓展习题丰富的性质.

笔者以问题链形式引导学生对此习题进行性质探索,原本计划两个星期完成,由于学生思路比较活跃,发现的性质越来越多,结果又增加了一个星期.有些问题是笔者提出,而有些问题则是学生提出,在此不加区别,均以问题形式表述,下面是对此课题的简单整理:

问题1已知点P和点Q是曲线y=x2−2x−3上的两点,且点P的横坐标是1,点Q的横坐标是4,直线PA、QA为曲线切线且交于A点,你能发现点A、P、Q有什么关系吗?

问题2从问题1的结论中,你能发现点A又与哪个点有关系?

问题3已知点P和点Q是曲线y=x2−2x−3上的两点,且点P的横坐标是1,点Q的横坐标是4,线段PQ的中点为H,直线PA、QA为曲线的切线且交于点A,直线AH交曲线于点G,你对过点G的切线有什么发现吗?

问题1的设计旨在引导学生从几何去发现点A横坐标是点P、Q的横坐标和的一半.问题2的设计旨在引导学生从方程中发现点A与线段PQ中点的横坐标相同.问题3的设计略带开放性,旨在引导学生发现过点G的切线平行直线PQ这个奇妙的性质.

从问题1至问题3,学生对可能产生什么结论进行一定的探索,在获得一些具体的性质后,教师继续扩大学生视野,推广到一般抛物线中去进行探讨.

二、推广式设计问题,挖掘习题潜在的性质

问题4把例题中的抛物线推广为x2=2py(p＞0),点A,B是抛物线上任意不同的两点,线段AB的中点为H,切线AC、BC交于点C,直线CH交抛物线于点G,过点G的切线会平行直线AB吗?

经过探究,得到如下结论:

性质1设A,B为抛物线E上两点,线段AB中点H,抛物线E在A、B处切线相交于C,直线CH交抛物线E于G,则过G的切线平行直线AB.

问题5上述证明中,点G与线段CH具有怎样的位置关系?过点G的切线与△ABC又有什么关系?

再做探究,就有下列:

推论1设A,B为抛物线E上两点,线段AB中点H,抛物线E在A、B处切线相交于C,直线CH交抛物线E于G,则G是线段CH中点.

推论2设A,B为抛物线E上两点,抛物线E在A、B处切线相交于C,若E的切线平行直线AB,则该切线是△ABC的中位线.

问题6性质1的逆命题成立吗?(回答是肯定的.)

性质2设A,B为抛物线E上两点,线段AB中点为H,抛物线E在A、B处的切线相交于C,若E的切线平行直线AB,切点为G,则C,H,G三点共线.

问题7从性质1、2是否可以统一表述成一个命题?显然可以表述以下形式:

性质3设点A,B,G在抛物线E上,线段AB中点H,抛物线E在A、B处切线相交于点C,则过点G的切线平行直线AB的充要条件是C,H,G共线.

问题8在性质1的证明过程中,我们能否通过这三条切线方程了解它们的斜率有什么数量关系?通过猜想和证明得到如下结论:

性质4点A,B在抛物线E上,抛物线E在A、B处切线相交于C,切线斜率分别为kAC,kBC,以及直线AB的斜率kAB,则

问题9在性质1中,两条切线斜率之积和直线OA,OB的斜率又有什么数量关系?

经过简单的探究,就可以得到下列:

性质5点A,B在抛物线E上,抛物线E在A、B处切线相交于C,切线斜率分别为kAC,kBC,以及直线OA,OB的斜率分别为kOA,kOB,则kACkBC=4kOAkOB.

问题10从性质5的证明过程中,我们对直线AB的斜率与直线OA,OB的斜率又有什么发现?

性质6点A,B在抛物线E上,直线AB,OA,OB的斜率分别为kAB,kOA,kOB,则kAB=kOA+kOB.

问题11如果知道抛物线的两条切线交点,能求出过两切点的直线方程吗?

经过再做探究,就有下列:

性质7设A,B为抛物线E:x2=2py(p＞0)上两点,抛物线E在A、B处切线相交于C(a,b),则直线AB的方程为

从上面设置的问题链和证明过程可以看到,抛物线性质是在发现问题,解决问题,再发现问题的循环中得到发展.发现问题是问题链得以延伸的关键,问题引导要“巧”,巧在几何特征上发现性质;巧在命题形式上推广性质;巧在证明过程中丰富性质.如果抛物线内的巧问是“小巧”的话,那么“大巧”就是继续设置问题,以类比思维引导学生把知识拓广到其它两类曲线中,使学生不断加深对圆锥曲线的认识.

三、类比式设计问题,探索类似的性质

1、以椭圆为探究对象

问题12椭圆是否也具有类似性质3的性质?通过探究得到以下结论:

性质8点A,B,G在椭圆E上,在A、B处切线相交于C,线段AB中点为H,则过点G的切线平行直线AB的充要条件为C,H,G共线.

图1

(2)若直线AB平行x轴,则直线OC与y轴交点为G(0,−b),则过点G切线斜率为0,过点G的切线与直线AB平行.

问题13从性质6的证明过程我们可以发现O,C,H这三个点位置有什么关系?从性质6的证明中可以看到这三点是共线,因此有:

推论3点A,B在椭圆E上,椭圆E中心为O,在A、B处切线相交于点C,线段AB中点H,则点O,C,H共线.

还可以得到以下结论:

推论4点A,B在椭圆E上,椭圆E中心为O,若AB平行椭圆E在G处的切线,线段AB的中点为H,则O,H,G共线.

推论5已知△ABC内接于椭圆,过A,B的切线分别与对边平行,则过C的切线与第三边平行.

推论6已知△ABC内接于椭圆,过A,B,C的切线分别与对边平行,则△ABC重心G与椭圆中心O重合.

性质9点A,B在椭圆上,椭圆E中心为O,线段AB中点为H,若直线AB不平行坐标轴,则直线AB与直线OH斜率之积为

性质10点A,B在椭圆上,椭圆E在A、B处切线相交于C(m,n),则直线AB的方程为

问题14从性质9我们可以看到直线AB与直线OH斜率之积为那么两条切线的斜率之积和直线OA,OB的斜率有关系吗?经过猜想和证明,有:

性质11点A,B在椭圆上,椭圆E在A、B处切线相交于C,直线OA,OB,AC,BC的斜率存在且不为零,设斜率分别为kOA,kOB,kAC,kBC,则

2、以双曲线为探究对象

(设问及证明过程,与椭圆类似,此处从略)

性质12点A,B,G在双曲线E同一支上,在A、B处切线相交于C,线段AB中点H,则过G的切线平行直线AB的充要条件为C,H,G共线.

推论7点A,B,C在双曲线E同一支上,双曲线E中心为O,过A,B的切线相交于C,若AB平行双曲线E在G处的切线,则G,O,C共线,且该直线平分AB.

推论8点A,B在双曲线E同一支上,双曲线E中心为O,若AB平行双曲线E在C处的切线,线段AB的中点为D,则O,C,D共线.

性质13点A,B在双曲线E上,双曲线E的中心为O,线段AB中点为H,若直线AB不平行坐标轴,则直线AB与直线OH斜率之积为

四、高考真题再现,活用性质求解

例1(2017年全国高考文科卷试题)设A,B为曲线上两点,A与B的横坐标之和为4.

(1)求直线AB的斜率;

(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.

解(1)过程略.(2)由,得.设M(m,n),由题意可知,解得m=2,进而n=1,即M(2,1).由性质3,设两切线交点P(2,b),则由性质7可设直线AB的方程为y=x−b,与曲线C方程联立得x2−4x+4b=0,由∆＞0,得b＜1,由韦达定理可知x1+x2=4,x1x2=4b,又AM⊥BM,kAMkBM=−1,即,把y1=x1−b,y2=x2−b,代入并化简得b2+6b−7=0解得b=−7或b=1(舍去),所以直线AB的方程为y=x+7.

例2(2014 广东高考题) 已知椭圆b＞0)的一个焦点为,离心率为

(1)求椭圆C的标准方程.

(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线互相垂直,求点P的轨迹.