李丽平　马晨誉

摘要以揭示中国冬、夏季气温、降水之间的同期耦合时空特征为例，比较了SVD与MEOF分析所得主要正交模的相关关系及均衡性，论证了SVD方法在揭示两个要素场序列互相关关系上的优越性。结果表明：1）SVD的分解对象仅包含反映两种要素场相关关系的信息，而MEOF还包含了两个要素场各自的自相关信息，前者分解对象更纯粹。2）MEOF和SVD揭示的气温和降水空间耦合模态正负异常分布大致相似，但相较SVD所揭示的耦合模态，MEOF分析的冬、夏季气温、降水主要正交模存在不均衡现象，即一个主要MEOF正交模往往侧重描述两种异常要素场中的一种，这种差异在冬季尤为突出。SVD方法揭示了中国冬、夏季同期气温、降水间局域高温少降水或低温多降水是二者主要异常配置，且相关性夏强冬弱。3）比较SVD、MEOF方法同序正交模的相关系数和均衡度发现，SVD多数正交模的相关系数较MEOF的更大、更稳定，且均通过显著性检验，MEOF的冬季部分正交模相关系数未通过显著性检验；SVD主要正交模的均衡性冬季优于MEOF分析、夏季优于（第一模态）或者接近于（第二、三模态）MEOF分析。故SVD方法是揭示两要素之间耦合关系的更好方法。

关键词气温；降水；SVD；MEOF分析；均衡性；相关性；耦合模态差异

近50 a来，自然正交函数（Empirical Orthogonal Function，EOF）分析方法在大气科学的实际应用中，发展出适于各种分析目的EOF方法，多变量EOF（Multivariable Empirical Orthogonal Function，MEOF）分析方法（Bretherton et al.，1992；Wang，1992）就是其中一种。MEOF的分析对象，是相同时域上两个或两个以上不同变量场时间序列组成的多变量场时间序列，因MEOF分析得到的单个标准化特征向量是两个或两个以上变量的联合表达（Lorenz，1956），并按时间系数变化，故MEOF分析方法可以揭示多个变量场间的耦合关系（Bretherton et al.，1992）。奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）方法主要用于两种要素场时间序列间最强相关联系的分析。由于SVD方法对计算条件要求甚高，直到20世纪70、80年代才在大气科学中得到实际应用（Weare，1977；Wallace and Gutzler，1981；Roger，1984；Palmer and Sun，1985）。国内孙照渤等（1991）、赵红旭和葛玲（1991）将SVD方法用于大气环流及气候异常的早期研究中，后得到广泛应用（王盘兴等，1997；Wang et al.，2001；谢瑶瑶，2013；李丽平和袁爱军，2015；孙一等，2015；苗青等，2016）。吴洪宝和吴蕾（2005）系统地介绍了SVD方法原理及应用。

由上可见，MEOF和SVD两个方法均可用于揭示两种要素场的耦合时空特征，那它们的分析结果有何差异？使用哪个方法更合理或更具优越性？这是个值得探究的有趣问题。本文以分析中国冬、夏季气温、降水的耦合相关关系为例，从对比两方法的分解对象及结果差异的角度，论证两方法在研究两要素场耦合关系中的合理性和优越性，为科研工作者更好利用这些方法提供参考。

1资料与模方拟合率分析

11资料及分解对象比较

所用资料为中国160站1951—2010年冬、夏季同期平均气温（F）、降水（G）的标准化距平场序列，站点数m1=m2=160，时间序列长度n=60 a。

MEOF方法分解的直接对象是相关系数方阵D=HHT（对标准化变量），其中，

Hm′×n=Fm1×nGm2×n。 （1）

Hm′×n被簡记为H，是MEOF的分析对象；m′=m1+m2（本文m′=320）。D可写成分块矩阵（假定m1Dm′×m′=Am1×m1Cm1×m2CTm2×m1Bm2×m2。 （2）

子矩阵Am1×m1=FFT、Bm2×m2=GGT是F、G的自相关系数方阵，它们是EOF分析中求特征值、特征向量的矩阵；子矩阵Cm1×m2=FGT及其转置CT是F、G的互相关系数矩阵，它包含了F、G中全部同期互相关信息，它是本文SVD的直接分解对象。可见，D是包含了F、G自相关（A、B）、互相关（C、CT）全部信息的矩阵，它决定了MEOF分析方法及导出统计量意义比SVD更复杂。

12模方拟合率

1）MEOF模方分析

由表1的方差贡献率ρh、累积方差贡献率Ph可知，冬、夏季气温、降水 MEOF分析的前10个分量的方差贡献率均大于按自由度均分的模方拟合率=170%；前3个分量的ρh均大于5×=848%；且冬、夏累计方差贡献率P3分别为520%、375%，故称前3个为主要分量，它们是分析重点。

2）SVD模方分析

气温、降水同期互相关系数矩阵记为C=FGT。由表2、3知：冬、夏季C的模方分别为75832、82493，说明夏季气温、降水同期相关强于冬季。其中，1）第一类模方拟合率ρh（即对‖C‖2的拟合率）随h增大迅速减小，前三对正交模累积模方拟合率P3冬、夏季分别达853%、744%，且ρ3/ρ4分别达242、279，故前三对正交模态最重要。2）第二类模方拟合率fρh、gρh（对‖F‖2、‖G‖2的拟合率）随h增大而减小的趋势存在，但它们不是严格的非升值序列；前三个奇异向量是拟合冬季的‖F‖2、‖G‖2及夏季的‖F‖2的最重要奇异向量，夏季gρ3对应的奇异向量不是拟合‖G‖2的最重要奇异向量（gρ3是第4大值）。但从两类模方拟合率总体看，前三对正交模态对‖F‖2、‖G‖2的拟合最重要，因此，选择前三对正交模，即左、右奇异向量（h、h）及相应时间系数序列qh、rh、h=1，3，进行重点分析。

21MEOF主要模态分析

MEOF特征向量h可以分解为与气温F、降水G对应的两个部分，分别记为h、h。首先，由图1、2知，冬、夏季气温和降水MEOF分析的某些主要特征向量h主要由一个h或一个h构成（阴影区为异常绝对值相对大值区），或者说MEOF分析的一个主要正交模往往侧重于描述两种异常要素场中的一种，如冬季1、2分别主要描写气温F、降水G，夏季1主要描写气温F。称为主要正交模的不均衡现象。

具体而言，反位相异常分布是夏季气温、降水MEOF正交模的主要耦合特征（图2），如第一正交模（图2a）整个中国东部（100°E以东）基本呈反位相异常分布。第二正交模（图2b）呈华北、东北与长江流域反位相异常分布，第三正交模（图2c）大致呈黄淮、江淮流域与华南反位相异常分布。由MEOF分析同序时间系数的相关系数（表4）均为正可知，热旱、凉涝是中国夏季气温和降水的主要异常配置。冬季气温、降水MEOF第二、三正交模（图1b、图1c）中国东部也大致呈反位相异常分布，第一正交模耦合特征较复杂。

另外，MEOF方法给出的中国冬、夏季同期气温、降水前三个主要模态时间系数与其分量变化趋势的分析也进一步说明MEOF主要模态结构的均衡性差（图略），因篇幅所限，这里不再赘述，下节给出定量分析来说明。

22SVD主要模态分析

由夏季同序SVD奇异向量（图3）知，中国东部气温h上的显著正（深阴影区）、负（浅阴影区）异常区基本与降水h上的反号显著异常区一致，而SVD方法给出的相应主要模态间的异型相关系数均显著，且夏季相关强于冬季（表4）。因为异型相关系数均为正，同样表明中国东部夏季热旱、凉涝是常见的异常配置，这与周晓霞等（2007）从单站季气温、降水局地同期相关分析得出的结论一致。冬季第一、二对奇异向量相关特征较为复杂，第三奇异向量存在类似夏季的特点（图4）。

23MEOF和SVD主要模态异同

分别比较MEOF和SVD所揭示的中国冬季（图1和图4）、夏季（图2和图3）气温和降水主要正交模发现，两种方法所得的正交模大致呈相似分布关系，夏季，中国东部呈热旱、凉涝的基本异常配置；冬季二者耦合关系较为复杂，特别是第一主要耦合模态。

两种方法揭示的耦合模态主要差异在于，MEOF揭示的主要正交模存在明显不均衡性，即MEOF分析的一个主要正交模往往侧重于描述两种异常要素场中的一种，SVD分析的左右奇异向量则更为均衡地兼顾了两个要素场的主要异常信息。这种均衡性的差异在冬季更为显著。尽管夏季均衡性差异略小，但MEOF分析所得正交模的不均衡性体现在最主要的第一正交模。故总体而言，两种方法正交模的空间分布直观显示了MEOF空间耦合模态的均衡性要差于SVD模态。

3MEOF和SVD模态耦合关系度量及比较

上节从定性角度对比分析了MEOF和SVD揭示的耦合空间模态异同，下面从两个方面定量比较MEOF和SVD分析所得主要正交模在揭示F、G两要素场耦合关系中的差异性。

31相关性度量参数及其比较

相关性指由SVD、MEOF分析方法揭示的同序正交模（分别与F、G对应）间的相关关系，它由同序时间系数h、h（MEOF）和qh、rh（SVD）的相关系数rh度量。其中，h、h是MEOF时间系数th的分量，记为

SVD的同序时间系数qh、rh间相关系数定义式与式（4）类似，它是度量MEOF（SVD）分析第h个正交模中与F、G对应的特征向量h、h（奇异向量h、h）耦合紧密程度的统计量，rh越大耦合越紧密。

表4给出了中国160站60 a冬、夏季气温、降水SVD、MEOF分析的rh、h=1，10。由表4知：1）SVD方法給出的多数正交模（冬9/10、夏8/10）的rh大于MEOF；SVD方法的rh均通过信度α=005的经验蒙特卡洛法（Empirical Monte Carlo，简记为EMC法）显著性检验（Iwasaka and Wallace，1995；谢瑶瑶等，2011），而MEOF分析所得正交模冬季rh、h=2、6，10未通过显著性检验。2）SVD的主要模态（h=1，3）的rh值稳定，MEOF的rh则起伏大，甚至出现不显著值（冬季r2）。3）SVD的夏季rh全部大于冬季同序rh，集中反映了中国气温、降水相关性夏强冬弱的季节变化特征。

32均衡性度量参数及其比较

均衡性，是指描述MEOF（SVD）分析对象F与G的同序正交模h、h（h、qh）与h、h（h、rh）在拟合F、G模方中的差异。MEOF（SVD）第h个正交模对两个场F、G各自的方差贡献率分别记为ρhf（fρh）、ρhg（gρh），用MEOF同序ρhf、ρhg定义均衡度

γh=min（ρhf，ρhg）max（ρhf，ρhg）。（5）

SVD均衡度定义式与式（5）类似。γh在[0，1]上取值，γh越大，说明MEOF中的（h、h）和（h、h）、SVD中的（h、qh）与（h、rh）越均衡，反映了F、G的耦合关系好；反之，γh越小，反映的耦合关系越差。

表5给出了中国160站60 a冬、夏季气温、降水SVD、MEOF分析的均衡度γh、h=1，10。由表5知：冬季SVD方法主要（h=1，3）正交模的γh均大于MEOF，夏季SVD主要正交模的γ2、γ3虽小于MEOF，但其值差异相对较小（与冬季MEOF的γ1、γ2远小于SVD相比）。故SVD方法所得主要正交模的均衡性优于MEOF分析。

上述相关性、均衡性比较表明，若将F、G的耦合关系理解为它们的互关关系，则SVD方法是揭示F、G之间耦合关系的较好方法，MEOF分析方法则存在明显缺陷。

4结论和讨论

以分析中国冬、夏季气温、降水之间的耦合关系为例，对比分析了SVD方法和MEOF方法在揭示两要素场耦合关系中的异同。主要结论如下：

1）据SVD和MEOF原理，在研究两要素场耦合关系的分析中，SVD的直接分解对象比MEOF的直接分解对象更纯粹，前者仅仅包含反应两种要素场的互相关信息，而后者还包含了两个要素场各自的自相关信息。

2）MEOF和SVD揭示的气温和降水耦合模态空间分布大致相似，但相较SVD所揭示的空间耦合模态，MEOF分析的季气温、降水主要正交模存在明显不均衡现象，即一个主要MEOF正交模往往侧重描述两种异常要素场中的一种；如冬季MEOF第一、第二正交模分别主要描写气温、降水，夏季第一正交模主要描写气温。由SVD方法给出的中国季同期气温、降水前三个空间耦合模态兼顾了两要素的异常信息，主要模态时间系数间异型相关系数均显著且为正，夏季相关强于冬季；二者奇异向量显著相关区符号相反，故局域高温少降水或低温多降水是主要异常配置，且相关性存在夏强冬弱季节变化特征。

3）比较SVD、MEOF方法同序正交模的相关系数和均衡度发现，SVD的多数正交模相关系数大于MEOF，且均通过显著性检验，MEOF分析的冬季部分正交模相关系数未通过显著性检验。SVD主要模态的相关系数值稳定，MEOF的相关系数则起伏大，甚至出现不显著值（冬季r2）。冬季SVD主要正交模的均衡度均大于MEOF，夏季SVD第一正交模均衡度远大于MEOF，第二、三主要正交模的均衡度虽小于MEOF，但其值差异相对较小。故SVD方法所得主要正交模的均衡性优于MEOF分析。

通过第2、3节定性和定量分析可知，MEOF和SVD方法揭示的季气温和降水异常正交模空间型虽大致呈相似分布关系，但SVD的多数正交模相关系数大于MEOF，且数值更稳定，均通过显著性检验，而MEOF的冬季部分正交模相关系数未通过显著性检验；冬季SVD正交模的均衡性明显优于MEOF模态；夏季MEOF正交模均衡性相对较好，与SVD分析结果更接近，但作为反映要素最主要耦合时空特征的MEOF第一正交模却呈现明显不均衡特征（主要反映气温）。故定性和定量分析均表明，SVD方法相比MEOF是揭示两要素场耦合关系的更好方法。这实际也从另一个角度佐证了SVD分解对象更纯粹，揭示的耦合关系必然更合理的结论1）。

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Comparison of SVD and MEOF analysis on anomalous coupling relationship between temperature and precipitation in winter and summer in China

LI Liping1，2，MA Chenyu1，2，NI Yuman2，3，YUAN Aijun2，4，WANG Panxing1，2

1Collaborative Innovation Center on Forecast and Evaluation of Meteorological Disasters（CICFEMD）/Key Laboratory of Meteorological Disaster，Ministry of Education（KLME），Nanjing University of Information Science & Technology，Nanjing 210044，China；

2School of Atmospheric Sciences，Nanjing University of Information Science & Technology，Nanjing 210044，China；

3Anhui Meteorological Observatory，Hefei 230031，China；

494995 Army Meteorological Observatory，Rugao 226500，China

Taking study on the simultaneous coupling temporal and spatial characteristics between temperature and precipitation of China as an example in winter and summer respectively，the correlation relationship and equilibrium of the main orthogonal modes of SVD and MEOF analysis are compared，and the superiority of SVD method in revealing correlation relationship between two element fields is demonstrated.The main conclusions are as follows：（1） Comparing the principle of SVD with that of MEOF，the direct decomposition object of SVD is more pure and only contains information reflecting correlation relationship between two element fields，while that of MEOF also includes the autocorrelation information of two element fields itself，respectively.（2） The positive and negative anomalous distributions of the spatial coupled modes between air temperature and precipitation revealed by MEOF and SVD are approximately similar，but the main MEOF orthogonal modes between air temperature and precipitation in winter and summer are unbalanced compared with those revealed by SVD.That is，one of the main MEOF orthogonal modes often focuses on describing one of the two anomalous element fields.This difference is especially pronounced in winter.The SVD method reveals that the local high temperature and less precipitation or low temperature and more precipitation are the main abnormal configurations between temperature and precipitation in winter and summer over the same period in China，and the correlation is strong in summer and weak in winter.（3） By comparing the correlation coefficients and equalization of the same order orthogonal modes of SVD with those of MEOF，it is found that the correlation coefficients of most orthogonal modes of SVD are larger and more stable than those of MEOF，and all pass the significance test，and part of correlation coefficients of MEOF orthogonal modes in winter do not pass the significance test.The equalization of SVD main orthogonal modes is superior to that of MEOF analysis in winter，and is superior to （for the first mode） or close to （for the second and third modes） that of MEOF in summer.So the SVD method is a better way to reveal the coupling relationship between the two elements.

temperature；precipitation；SVD；MEOF analysis；equilibrium；correlation；difference of coupling modes

doi：1013878/j.cnki.dqkxxb.20180528001

（責任编辑：张福颖）